Τι είναι η παρεμβολή;

Η παρεμβολή περιλαμβάνει την ανακάλυψη ενός μοτίβου σε ένα σύνολο σημείων δεδομένων για την εκτίμηση μιας τιμής μεταξύ δύο σημείων.Η γραμμική παρεμβολή είναι ένας από τους απλούστερους τρόπους για την παρεμβολή mdash; Μια γραμμή που συνδέει δύο σημεία χρησιμοποιείται για την εκτίμηση των ενδιάμεσων τιμών.Τα πολυώνυμα υψηλότερης τάξης μπορούν να αντικαταστήσουν τις γραμμικές λειτουργίες για πιο ακριβή, αλλά πιο περίπλοκα, αποτελέσματα.Η παρεμβολή μπορεί να αντιπαραβάλλεται με την παρέκταση, η οποία χρησιμοποιείται για την εκτίμηση των τιμών έξω από ένα σύνολο σημείων αντί των μεταξύ τους.

Ένα διακριτό σύνολο σημείων δεδομένων έχει σημεία με δύο ή περισσότερες συντεταγμένες.Σε μια τυπική γραφική παράσταση XY Scatter, η οριζόντια μεταβλητή είναι x και η κατακόρυφη μεταβλητή είναι y.Τα σημεία δεδομένων τόσο με συντεταγμένη X όσο και Y μπορούν να γραφτούν σε αυτό το γράφημα για εύκολη απεικόνιση.Σε πρακτικές εφαρμογές, τόσο το X όσο και το Y αντιπροσωπεύουν πεπερασμένες ποσότητες πραγματικού κόσμου.Το x γενικά αντιπροσωπεύει μια ανεξάρτητη μεταβλητή, όπως ο χρόνος ή ο χώρος, ενώ το y αντιπροσωπεύει μια εξαρτημένη μεταβλητή, όπως ο πληθυσμός. Συχνά, τα δεδομένα μπορούν να συγκεντρωθούν μόνο σε διακριτά σημεία.Στο παράδειγμα παρακολούθησης του πληθυσμού μιας χώρας, μια απογραφή μπορεί να ληφθεί μόνο σε ορισμένες χρονικές στιγμές.Αυτές οι μετρήσεις θα μπορούσαν να γραφτούν ως διακριτά σημεία δεδομένων σε ένα διάγραμμα XY.

Εάν μια απογραφή λαμβάνεται μόνο κάθε πέντε χρόνια, είναι αδύνατο να γνωρίζουμε τον ακριβή πληθυσμό μεταξύ των απογραφών.Σε γραμμική παρεμβολή, δύο σημεία δεδομένων συνδέονται με μια γραμμική λειτουργία.Αυτό σημαίνει ότι η εξαρτημένη μεταβλητή (πληθυσμός) θεωρείται ότι αλλάζει με σταθερό ρυθμό για να φτάσει στο επόμενο σημείο δεδομένων.Εάν ο πληθυσμός ένα χρόνο μετά από μια απογραφή απαιτείται, θα μπορούσε κανείς να παρεμβαίνει γραμμικά τα δύο σημεία δεδομένων για να εκτιμηθεί μια ενδιάμεση τιμή που βασίζεται στη γραμμή σύνδεσης.Είναι συνήθως προφανές ότι η πραγματική μεταβλητή δεν αλλάζει γραμμικά μεταξύ των σημείων δεδομένων, αλλά αυτή η απλοποίηση είναι συχνά επαρκώς ακριβής.

Μερικές φορές, ωστόσο, η γραμμική παρεμβολή εισάγει υπερβολικό λάθος στις εκτιμήσεις της.Ο πληθυσμός, για παράδειγμα, παρουσιάζει εκθετική ανάπτυξη σε πολλά σενάρια.Στην εκθετική ανάπτυξη, ο ρυθμός ανάπτυξης αυξάνεται και ο υψηλότερος πληθυσμός οδηγεί σε περισσότερες γεννήσεις, γεγονός που αυξάνει το συνολικό ποσοστό με τον οποίο αυξάνεται ο πληθυσμός.Σε μια γραφική παράσταση XY Scatter, αυτό το είδος συμπεριφοράς θα έδειχνε μια τάση που "καμπύλη προς τα πάνω".Μια ακριβέστερη μέθοδος παρεμβολής μπορεί να είναι κατάλληλη για αυτό το είδος μελέτης.

Πολυωνική παρεμβολή περιλαμβάνει τη σύνδεση πολυάριθμων σημείων δεδομένων με μια πολυωνυμική λειτουργία.Μια γραμμική λειτουργία είναι στην πραγματικότητα μια απλή ποικιλία μιας πολυωνυμικής λειτουργίας mdash; δηλαδή ένα πολυώνυμο της τάξης ένα.Τα πολυώνυμα, ωστόσο, μπορούν να έχουν υψηλότερες παραγγελίες από μία: Η παραγγελία δύο είναι μια παραβολή, η τάξη τριών είναι μια κυβική λειτουργία και ούτω καθεξής.Ένα σύνολο σημείων δεδομένων πληθυσμού μπορεί να παρεμβάλλεται καλύτερα με μια πολυωνυμική λειτουργία από μια γραμμική λειτουργία, επειδή ο πρώτος μπορεί να καμπυλώσει πάνω και κάτω για να ταιριάζει με τα δεδομένα.