Co to jest rachunek całkowy?

Rachunek całkowy, znany również jako całkowanie, jest jedną z dwóch gałęzi rachunku różniczkowego, a drugą stanowi różnicowanie. Różnicowanie opisuje, jak zmienia się wartość funkcji w stosunku do jej zmiennych. Całkowanie jest odwrotnością, ponieważ daje dokładne podsumowanie funkcji między dwiema wartościami. Rachunek całkowy zapewnia dokładne środki do obliczania pola powierzchni pod krzywą funkcji matematycznej. Integracja ma szeroki zakres zastosowań w fizyce i inżynierii.

Dwoma pionierami rachunku różniczkowego byli siedemnastowieczni naukowcy Isaac Newton i Gottfried Leibniz. Stosowany dziś zapis matematyczny oparty jest na pracy Leibniza. Chociaż niewątpliwie był świetnym naukowcem, Newton miał reputację bardzo konkurencyjnej i mściwej i nie chciał dzielić się uznaniem ze swoim niemieckim współczesnym. Newton wykorzystał swój znaczący wpływ w Royal Society w Londynie, aby bezpośrednio i pośrednio oskarżyć Leibniza o plagiat. Ważność tych oskarżeń nigdy nie została zweryfikowana, ale kontrowersje zniszczyły reputację Leibniza.

Całkowanie najlepiej opisać w kategoriach obszaru pod krzywą funkcji matematycznej. Obszar ten można traktować jako sumę pionowych pasków o równej szerokości. Kilka szerokich pasków da przybliżoną wartość dla tego obszaru; zwiększenie liczby pasów i zmniejszenie ich szerokości zapewni jeszcze dokładniejszą wartość dla tego obszaru. Rachunek całkowy działa, biorąc pod uwagę, kiedy szerokość tych pasów zbliża się do 0, a zatem liczba pasków zbliża się do nieskończoności. Sumowanie nieskończonej liczby nieskończenie małych pasków daje dokładną wartość dla tego obszaru.

Rachunek różniczkowy służy do opisania zmian funkcji (f) w stosunku do czasu (t). Jeśli prędkość (v) cząstki jest zdefiniowana przez funkcję v = f (t) , to jak daleko ona przeszła, można obliczyć za pomocą całkowania, ponieważ jest ona równa powierzchni pod krzywą. Odległość przebytą między dwoma odrębnymi punktami można znaleźć za pomocą określonej całki.

Istnieje wiele innych zastosowań rachunku całkowego - tak wielu, że sporządzenie wyczerpującej listy byłoby niemożliwe. W fizyce można go wykorzystać do obliczenia pracy ciała poruszającego się prostym ruchem harmonicznym lub do uzyskania równań opisujących zachowanie gazów. Inżynierowie budowlani lub inżynierowie mogą wykorzystać rachunek całkowy do analizy ruchów płynów lub rozkładów naprężeń w rurach przenoszących te płyny. Inżynierowie elektrycy używają rachunku całkowego do analizy przebiegów elektromagnetycznych.