Каковы биномиальные коэффициенты?

Биномиальные коэффициенты определяют количество комбинаций, которые возможны при выборе определенного количества результатов из набора данного размера. Они используются в теореме о биномах, который представляет собой метод разложения бинома - полиномиальной функции, содержащей два члена. Например, треугольник Паскаля состоит исключительно из биномиальных коэффициентов.

Математически, биномиальные коэффициенты записываются в виде двух чисел, вертикально выровненных в пределах набора скобок. Верхнее число, представленное «n», - это общее количество возможностей. Обычно представленный как «r» или «k», нижний номер - это число неупорядоченных результатов, которые будут выбраны из «n». Оба числа положительны, а «n» больше или равно «r».

Биномиальный коэффициент или число способов, которыми «r» можно выбрать из «n», рассчитывается с использованием факториалов. Факториал - это число, умноженное на следующее наименьшее число, умноженное на следующее наименьшее число, и так далее, пока формула не достигнет единицы. Он представлен математически как n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Ноль факториал равен единице.

Для биномиального коэффициента формула равна n факториалу (n!), Деленному на произведение (n - r)! раз г !, который обычно может быть уменьшен. Например, если n равно 5, а r равно 2, формула равна 5! / (5 - 2)! 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)). В этом случае 3 * 2 * 1 указывается как в числителе, так и в знаменателе, поэтому его можно исключить из дроби. Это приводит к (5 * 4) / (2 * 1), что равно 10.

Биноминальная теорема - это способ вычисления разложения биномиальной функции, представленной (a + b) ^ n - a плюс b к n-й степени; a и b могут состоять из переменных, констант или обоих. Чтобы разложить бином, первое слагаемое в разложении - это биномиальный коэффициент n и 0, умноженный на a ^ n. Второе слагаемое является биномиальным коэффициентом n и в 1 раз a ^ (n-1) b. Каждый последующий член расширения вычисляется путем добавления 1 к нижнему числу в биномиальном коэффициенте, увеличения a до степени n минус этого числа и увеличения b до степени этого числа, продолжая до тех пор, пока нижнее число коэффициента не станет равным п.

Каждое число в треугольнике Паскаля является биномиальным коэффициентом, который можно вычислить с помощью формулы для биномиальных коэффициентов. Треугольник начинается с 1 в верхней точке, и каждое число в нижней строке можно рассчитать, сложив вместе две записи по диагонали над ним. Треугольник Паскаля обладает несколькими уникальными математическими свойствами - в дополнение к биномиальным коэффициентам он также содержит числа Фибоначчи и фигурные числа.