Что такое расширяющиеся логарифмы?
Многие уравнения могут быть упрощены путем расширения логарифмов. Термин «расширяющиеся логарифмы» относится не к логарифмам, которые расширяются, а скорее к процессу, посредством которого одно математическое выражение заменяет другое согласно определенным правилам. Есть три таких правила. Каждое из них соответствует определенному свойству показателей, потому что логарифм является функциональной обратной величиной возведения в степень: log 3 (9) = 2, потому что 3 2 = 9.
Наиболее распространенное правило для расширения логарифмов используется для разделения продуктов. Логарифм произведения является суммой соответствующих логарифмов: log a ( x * y ) = log a ( x ) + log a (y). Это уравнение выводится из формулы a x * a y = a x + y . Его можно распространить на несколько факторов: log a ( x * y * z * w ) = log a ( x ) + log a ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ).
Повышение числа до отрицательной степени равносильно увеличению его обратной величины до положительной степени: 5 -2 = (1/5) 2 = 1/25. Эквивалентным свойством для логарифмов является то, что log a (1 / x ) = -log a ( x ). Когда это свойство объединяется с правилом произведения, оно предоставляет закон для логарифма отношения: log a ( x / y ) = log a ( x ) - log a ( y ).
Последнее правило для расширения логарифмов относится к логарифму числа, возведенного в степень. Используя правило продукта, можно обнаружить, что log a ( x 2 ) = log a ( x ) + log a ( x ) = 2 * log a ( x ). Аналогично, log a ( x 3 ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3 * log a ( x ). В общем случае, log a ( x n ) = n * log a ( x ), даже если n не является целым числом.
Эти правила могут быть объединены для расширения выражений журнала более сложного характера. Например, можно применить второе правило для log a ( x 2 y / z ), получив выражение log a ( x 2 y ) - log a (z). Тогда первое правило может быть применено к первому члену, давая log a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ). Наконец, применение третьего правила приводит к выражению 2 * log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).
Расширение логарифмов позволяет быстро решить многие уравнения. Например, кто-то может открыть сберегательный счет на 400 долларов США. Если счет выплачивает 2% годовых, начисляемых ежемесячно, то количество месяцев, необходимое для того, чтобы счет удвоился, можно найти с помощью уравнения 400 * (1 + 0,02 / 12) m = 800. Деление на 400 доходностей (1 + 0,02 / 12) m = 2. Если взять логарифм по основанию-10 с обеих сторон, получится уравнение log 10 (1 + 0,02 / 12) m = log 10 (2).
Это уравнение можно упростить, используя правило степени m * log 10 (1 + 0,02 / 12) = log 10 (2). Использование калькулятора для нахождения логарифмов дает m * (0,00072322) = 0,30102. После решения для m выясняется, что для счета удвоится стоимость счета в течение 417 месяцев, если не будут внесены дополнительные деньги.