Что такое каноническая форма?

Почти все математические объекты могут быть выражены несколькими способами. Например, фракция 2/6 эквивалентна 5/15 и -4 / -12. Каноническая форма - это конкретная схема, которую математики используют для описания объектов из данного класса кодифицированным, уникальным способом. Каждый объект в классе имеет одно каноническое представление, соответствующее шаблону канонической формы.

Для рациональных чисел канонической формой является a / b , где a и b не имеют общих факторов, а b положительно. Такая фракция обычно описывается как «в самых низких терминах». При переводе в каноническую форму 2/6 становится 1/3. Если две дроби равны по значению, их канонические представления идентичны.

Канонические формы не всегда являются наиболее распространенным способом обозначения математического объекта. Двумерные линейные уравнения имеют каноническую форму Ax + By + C = 0, где C равно 1 или 0. Тем не менее математики часто используют форму пересечения наклона - y = mx + b - при выполнении базовых вычислений. Форма склона-пересечения не является канонической; его нельзя использовать для описания линии х = 4.

Математики считают канонические формы особенно полезными при анализе абстрактных систем, в которых два объекта могут показаться заметно разными, но математически эквивалентными. Множество всех замкнутых путей на пончике имеет ту же математическую структуру, что и множество всех упорядоченных пар ( a , b ) целых чисел. Математик может легко увидеть эту связь, если он использует канонические формы для описания обоих множеств. Два набора имеют одинаковое каноническое представление, поэтому они эквивалентны. Чтобы ответить на топологический вопрос о кривых на пончике, математику может быть проще ответить на эквивалентный алгебраический вопрос об упорядоченных парах целых чисел.

Многие области исследования используют матрицы для описания систем. Матрица определяется ее отдельными записями, но эти записи часто не передают символ матрицы. Канонические формы помогают математикам знать, когда две матрицы связаны каким-либо образом, что в противном случае может быть неочевидным

Булевы алгебры, структура, которую логики используют при описании высказываний, имеют две канонические формы: дизъюнктивную нормальную форму и конъюнктивную нормальную форму. Они алгебраически эквивалентны факторингу или разложению полиномов соответственно. Короткий пример иллюстрирует эту связь.

Директор средней школы может сказать: «Футбольная команда должна выиграть одну из своих первых двух игр и победить наших соперников, Шершней, в третьей игре, иначе тренер будет уволен». Это утверждение может быть логично написано как ( w ₁ + w ₂ ) * H + F , где «+» - логическая операция «или», а «*» - логическая операция «и». Дизъюнктивная нормальная форма для этого выражения w ₁ * H + w ₂ * H + F. Его конъюнктивная нормальная форма для ( w ₁ + w ₂ + F ) * ( H + F ). Все три из этих выражений верны при одинаковых условиях, поэтому они логически эквивалентны.

Инженеры и физики также используют канонические формы при рассмотрении физических систем. Иногда одна система будет математически похожа на другую, даже если они не похожи друг на друга. Дифференциально-матричные уравнения, используемые для моделирования одного, могут быть идентичны уравнениям, используемым для моделирования другого. Эти сходства становятся очевидными, когда системы отливаются в канонической форме, такой как наблюдаемая каноническая форма или контролируемая каноническая форма.