Что такое Coset?
Класс смежности - это определенный тип подмножества математической группы. Например, можно рассмотреть множество всех целых кратных 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, которые можно обозначить как 7 Z. Добавление 3 к каждому числу порождает множество {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, которое математики описывают как 7 Z + 3. Этот последний набор называется смежным классом 7 Z, порожденным 3 ,
Есть два важных свойства 7 Z. Если число кратно 7, то его аддитивная обратная величина. Аддитивная обратная величина 7 равна -7, аддитивная обратная величина 14 равна -14 и так далее. Кроме того, добавление кратного 7 к другому кратному 7 приводит к кратному 7. Математики описывают это, говоря, что кратные 7 «замкнуты» при операции сложения.
Эти две характеристики объясняют, почему 7 Z называется подгруппой добавляемых целых чисел. Только подгруппы имеют смежные классы. Множество всех кубических чисел {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...} не имеет смежных классов так же, как 7 Z, потому что оно не замкнуто при сложении : 1 + 8 = 9, а 9 не является кубическим числом. Аналогично, множество всех положительных четных чисел {2, 4, 6, ...} не имеет смежных классов, потому что оно не содержит инверсий.
Причина этих условий заключается в том, что каждое число должно быть ровно в одном смежном классе. В случае {2, 4, 6, ...}, 6 находится в смежном классе, сгенерированном 4, и находится в смежном классе, сгенерированном 2, но эти два смежных класса не идентичны. Этих двух критериев достаточно, чтобы гарантировать, что каждый элемент находится в одном классе.
Cosets существуют в любой группе, а некоторые группы намного сложнее, чем целые числа. Полезной группой, которую можно рассмотреть, является набор всех способов перемещения квадрата без изменения области, которую он охватывает. Если квадрат повернут на 90 градусов, форма не меняется. Точно так же это может быть перевернуто вертикально, горизонтально или поперек любой диагонали, не изменяя область квадратных покрытий. Математики называют эту группу D 4 .
D 4 имеет восемь элементов. Два элемента считаются идентичными, если они оставляют все углы в одном и том же месте, поэтому вращение квадрата по часовой стрелке четыре раза считается тем же, что и бездействие. С учетом этого восемь элементов можно обозначить как e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d и d d . « Е » относится к бездействию, а « 2 » означает выполнение двух поворотов. Каждый из последних четырех элементов относится к переворачиванию квадрата: вертикально, горизонтально или вдоль наклонных вверх или вниз диагоналей.
Целые числа являются абелевой группой, что означает, что ее операция удовлетворяет коммутативному закону: 3 + 2 = 2 + 3. D 4 не абелева. Поворот квадрата и его горизонтальное переворачивание не сдвигают углы так же, как переворачивание и последующее вращение.
При работе в некоммутативных группах математики обычно используют * для описания операции. Небольшая работа показывает, что поворот квадрата с последующим переворачиванием по горизонтали, r * h , аналогичен перевороту по диагонали вниз. Таким образом, r * h = d d . Перевернуть квадрат, а затем повернуть его - это перевернуть его по диагонали вверх, поэтому r * h = d u .
Порядок имеет значение в D 4 , поэтому нужно быть более точным при описании смежных классов. При работе с целыми числами фраза «смежный класс 7 Z, сгенерированный 3» недвусмысленна, поскольку не имеет значения, добавляется ли 3 слева или справа от каждого кратного числа 7. Однако для подгруппы D 4 разные заказы будут создавать разные смежные классы. Основываясь на описанных ранее вычислениях, r * H , левый смежный класс H, порожденный r, равен { r, d d }, но H * r равен ( r, d u }. Требование, чтобы ни один элемент не входил в два разных класса, не соответствует не применяется при сравнении правых смежных классов с левыми.
Правые смежные классы H не соответствуют его левым смежным классам. Не все подгруппы D 4 разделяют это свойство. Можно рассмотреть подгруппу R всех вращений квадрата, R = { e, r, r 2 , r 3 }.
Небольшой расчет показывает, что его левые смежные классы такие же, как и его правые смежные классы. Такая подгруппа называется нормальной подгруппой. Нормальные подгруппы чрезвычайно важны в абстрактной алгебре, потому что они всегда кодируют дополнительную информацию. Например, два возможных смежных класса R равняются двум возможным ситуациям: «квадрат был перевернут» и «квадрат не перевернут».