Что такое детерминант?

Матрицы - это математические объекты, которые преобразуют фигуры. Определитель квадратной матрицы A, обозначенный как | A |, представляет собой число, которое суммирует влияние A на размер и ориентацию фигуры. Если [ ab ] является вектором верхней строки для A, а [ cd ] является его вектором нижней строки, то | A | = ad-bc .

Определитель кодирует полезную информацию о том, как матрица преобразует области. Абсолютное значение определителя указывает масштабный коэффициент матрицы, насколько она растягивает или сжимает фигуру. Его знак описывает, переворачивает ли матрица фигуры, давая зеркальное отражение. Матрицы также могут искажать области и вращать их, но эта информация не предоставляется определителем.

Арифметически преобразовательное действие матрицы определяется умножением матрицы. Если A является матрицей 2 × 2 с верхней строкой [ ab ] и нижней строкой [ cd ], то [1 0] * A = [ ab ] и [0 1] * A = [ cd ]. Это означает, что A переводит точку (1,0) в точку ( a, b ), а точку (0,1) - в точку ( c, d ). Все матрицы оставляют начало координат неизменным, поэтому видно, что A преобразует треугольник с конечными точками в (0,0), (0,1) и (1,0) в другой треугольник с конечными точками в (0,0), ( a , б ) и ( в, г ). Отношение площади этого нового треугольника к исходному треугольнику равно | ad-bc |, абсолютное значение | A |.

Знак определителя матрицы описывает, переворачивает ли матрица форму. Рассматривая треугольник с конечными точками в точках (0,0), (0,1) и (1,0), если матрица A удерживает точку (0,1) в неподвижном состоянии, а точку (1,0) переводит в точку (-1,0), то он перевернул треугольник по линии x = 0. Поскольку A перевернул фигуру, | A | будет отрицательным. Матрица не меняет размер области, поэтому | A | должно быть -1, чтобы соответствовать правилу, согласно которому абсолютное значение | A | описывает, насколько А растягивает фигуру.

Матричная арифметика следует ассоциативному закону, а это означает, что ( v * A) * B = v * (A * B). Геометрически это означает, что объединенное действие сначала преобразования формы с матрицей A, а затем преобразования формы с матрицей B эквивалентно преобразованию исходной формы с продуктом (A * B). Из этого наблюдения можно сделать вывод, что | A | * | B | = | A * B |.

Уравнение | A | * | B | = | A * B | имеет важное следствие, когда | A | = 0. В этом случае действие A не может быть отменено какой-либо другой матрицей B. Это можно вывести, заметив, что если A и B были обратными, то (A * B) не растягивает и не переворачивает какую-либо область, поэтому | A * B | = 1. Так как | A | * | B | = | A * B |, это последнее наблюдение приводит к невозможному уравнению 0 * | B | = 1

Обратное утверждение также может быть показано: если A - квадратная матрица с ненулевым определителем, то A имеет обратную . Геометрически это действие любой матрицы, которая не сглаживает область. Например, сжатие квадрата в отрезок может быть отменено другой матрицей, называемой его обратной. Такой обратный матричный аналог обратного.