Что такое простое число Мерсенна?

Простое число Мерсенна - это простое число, которое на единицу меньше степени двух. Около 44 были обнаружены на сегодняшний день. В течение многих лет считалось, что все числа вида 2 ⁿ - 1 были простыми. В 16 веке, однако, Hudalricus Regius продемонстрировал, что 2 ¹¹ - 1 был 2047, с факторами 23 и 89. Ряд других контрпримеров был показан в следующие несколько лет. В середине 17 века французский монах Марин Мерсенн опубликовал книгу « Физическая математика Cogitata» . В этой книге он заявил, что 2 ⁿ - 1 является простым для значения n 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257.

В то время было очевидно, что он никак не мог проверить правду любого из более высоких чисел. В то же время его сверстники также не могли доказать или опровергнуть его утверждение. Фактически, только спустя столетие Эйлер смог продемонстрировать, что первое бездоказательное число в списке Мерсенна, 2 ³¹ - 1, было действительно простым. Спустя столетие, в середине 19-го века, было показано, что 2 ^127-1 также были первыми. Вскоре после этого было показано, что 2 ⁶¹ - 1 также простое число, показывая, что Мерсенн пропустил хотя бы одно число в своем списке. В начале 20-го века были добавлены еще два числа, которые он пропустил, 2 ⁸⁹ - 1 и 2 ¹⁰⁷ - 1. С появлением компьютеров проверка, были ли числа простыми или нет, стала намного легче, и к 1947 году весь спектр Мерсенна оригинальные числа Мерсенна были проверены. Окончательный список добавил 61, 89 и 107 к его списку, и оказалось, что 257 на самом деле не был простым.

Тем не менее, за его важную работу по созданию основы для дальнейшей работы математиков, его имя было присвоено этому набору чисел. Когда число 2 ⁿ - 1 на самом деле является простым, оно называется одним из простых чисел Мерсенна.

Простое число Мерсенна также имеет отношение к так называемым совершенным числам. Идеальные числа занимали важное место в мистике, основанной на числах, на протяжении тысячелетий. Совершенное число - это число n, равное сумме его делителей, исключая себя. Например, число 6 является совершенным числом, потому что оно имеет делители 1, 2 и 3, а 1 + 2 + 3 также равно 6. Следующее совершенное число равно 28, с делителями 1, 2, 4 , 7 и 14. Следующий скачок до 496, а следующий - 8128. Каждое совершенное число имеет вид 2 ^n-1 (2 ⁿ - 1), где 2 ⁿ - 1 также простое число Мерсенна. Это означает, что при поиске нового простого числа Мерсенна мы также фокусируемся на поиске новых совершенных чисел.

Подобно многим подобным числам, поиск нового простого числа Мерсенна становится все труднее по мере нашего продвижения, потому что числа становятся существенно сложнее и требуют гораздо большей вычислительной мощности для проверки. Например, если десятое простое число Мерсенна, 89, можно быстро проверить на домашнем компьютере, двадцатое, 4423, будет облагать налогом домашний компьютер, а тридцатое, 132049, потребует большого количества вычислительной мощности. Сороковое известное простое число Мерсенна, 20996011, содержит более шести миллионов индивидуальных цифр.

Поиски нового простого числа Мерсенна продолжаются, поскольку они играют важную роль в ряде предположений и проблем. Возможно, самый старый и самый интересный вопрос - есть ли нечетное идеальное число? Если бы такая вещь существовала, она должна была бы делиться по крайней мере на восемь простых чисел и иметь по крайней мере семьдесят пять простых факторов. Один из его главных делителей будет больше 10 ²⁰ , так что это будет поистине монументальное число. Однако, поскольку вычислительная мощность продолжает расти, каждое новое простое число Мерсенна будет становиться все менее сложным, и, возможно, эти древние проблемы в конечном итоге будут решены.