Что такое фазовое пространство?

Фазовое пространство - это абстракция, которую физики используют для визуализации и изучения систем; каждая точка в этом виртуальном пространстве представляет одно возможное состояние системы или одной из ее частей. Эти состояния обычно определяются набором динамических переменных, относящихся к эволюции системы. Физики находят фазовое пространство особенно полезным для анализа механических систем, таких как маятник, планеты, вращающиеся вокруг центральной звезды, или массы, соединенные пружинами. В этих условиях состояние объекта определяется его положением и скоростью или, что эквивалентно, его положением и импульсом. Фазовое пространство также можно использовать для изучения неклассических и даже недетерминированных систем, подобных тем, которые встречаются в квантовой механике.

Масса, движущаяся вверх и вниз по пружине, представляет собой конкретный пример механической системы, подходящей для иллюстрации фазового пространства. Движение массы определяется четырьмя факторами: длиной пружины, жесткостью пружины, весом массы и скоростью массы. Только первый и последний из них изменяются со временем, предполагая, что незначительные изменения силы тяжести игнорируются. Таким образом, состояние системы в любой момент времени определяется исключительно длиной пружины и скоростью массы.

Если кто-то потянет массу вниз, пружина может растянуться на 10 дюймов (25,4 см). Когда масса отпускается, она на мгновение отдыхает, поэтому ее скорость равна 0 дюйм / с. Состояние системы в этот момент может быть описано как (10 дюймов, 0 дюймов / с) или (25,4 см, 0 см / с).

Сначала масса ускоряется вверх, а затем замедляется по мере сжатия пружины. Масса может перестать подниматься, когда длина пружины составляет 15,2 см (6 дюймов). В этот момент масса снова находится в состоянии покоя, поэтому состояние системы можно описать как (6 дюймов, 0 дюймов / с) или (15,2 см, 0 см / с).

В конечных точках масса имеет нулевую скорость, поэтому неудивительно, что она движется быстрее всего на полпути между ними, где длина пружины составляет 8 дюймов (20,3 см). Можно предположить, что скорость массы в этой точке составляет 4 дюйма / с (10,2 см / с). При прохождении средней точки на пути вверх состояние системы можно описать как (8 дюймов, 4 дюйма / с) или (20,3 см, 10,2 см / с). На пути вниз масса будет двигаться вниз, поэтому состояние системы в этой точке составляет (8 дюймов, -4 дюйма / с) или (20,3 см, -10,2 см / с).

Графики этих и других состояний, которые испытывает система, создают эллипс, изображающий эволюцию системы. Такой график называется фазовым графиком. Конкретная траектория, через которую проходит конкретная система, является ее орбитой.

Если бы масса сначала была опущена вниз, фигура, прослеженная в фазовом пространстве, была бы большим эллипсом. Если бы масса была выпущена в точке равновесия - точке, где сила пружины точно отменяет силу тяжести - масса осталась бы на месте. Это будет единственная точка в фазовом пространстве. Таким образом, можно видеть, что орбиты этой системы являются концентрическими эллипсами.

Пример «масса на весне» иллюстрирует важный аспект механических систем, определяемых одним объектом: две орбиты не могут пересекаться. Переменные, представляющие состояние объекта, определяют его будущее, поэтому в каждой точке на его орбите может быть только один путь и один путь. Поэтому орбиты не могут пересекаться друг с другом. Это свойство чрезвычайно полезно для анализа систем, использующих фазовое пространство.