Что такое формула Эйлера?

Швейцарский математик 18-го века Леонард Эйлер разработал два уравнения, которые стали известны как формула Эйлера. Одно из этих уравнений связывает число вершин, граней и ребер многогранника. Другая формула связывает пять наиболее распространенных математических констант друг с другом. Эти два уравнения заняли второе и первое места соответственно, как наиболее изящные математические результаты согласно «Математическому интеллекту».

Формула Эйлера для многогранников иногда также называется теоремой Эйлера-Декарта. В нем говорится, что число граней плюс число вершин минус количество ребер в многограннике всегда равно двум. Он записывается как F + V - E = 2. Например, куб имеет шесть граней, восемь вершин и 12 ребер. Подставляя в формулу Эйлера, 6 + 8 - 12 на самом деле равны двум.

Есть исключения из этой формулы, потому что она верна только для многогранника, который не пересекает себя. Хорошо известные геометрические формы, включая сферы, кубы, тетраэдры и восьмиугольники, являются непересекающимися многогранниками. Однако, если кто-то соединит две вершины непересекающегося многогранника, будет создан пересекающийся многогранник. Это приведет к тому, что многогранник будет иметь такое же количество граней и ребер, но на одну вершину меньше, поэтому очевидно, что формула больше не верна.

С другой стороны, более общая версия формулы Эйлера может быть применена к многогранникам, которые пересекаются. Эта формула часто используется в топологии, которая является исследованием пространственных свойств. В этой версии формулы F + V - E равно числу, называемому характеристикой Эйлера, которое часто обозначается греческой буквой чи. Например, тор в форме пончика и полоса Мёбиуса имеют нулевую эйлерову характеристику. Характеристика Эйлера также может быть меньше нуля.

Вторая формула Эйлера включает в себя математические константы e, i, Π, 1 и 0. E, которое часто называют числом Эйлера и является иррациональным числом, которое округляется до 2,72. Мнимое число i определяется как квадратный корень из -1. Pi (Π), соотношение между диаметром и окружностью круга, составляет приблизительно 3,14, но, как и е, является иррациональным числом.

Эта формула записывается как e ^{(i * Π)} + 1 = 0. Эйлер обнаружил, что если Π был заменен на x в тригонометрическом тождестве e ^{(i * Π)} = cos (x) + i * sin (x), результат было то, что мы теперь знаем, как формула Эйлера. Помимо соотношения этих пяти фундаментальных констант, формула также демонстрирует, что возведение иррационального числа в степень мнимого иррационального числа может привести к действительному числу.