Что такое метод Монте-Карло?

Метод Монте-Карло на самом деле представляет собой широкий класс методов исследования и анализа, объединяющим признаком которого является использование случайных чисел для исследования проблемы. Фундаментальная предпосылка состоит в том, что, хотя некоторые вещи могут быть совершенно случайными и бесполезными для небольших выборок, для больших выборок они становятся предсказуемыми и могут использоваться для решения различных задач.

Простой пример метода Монте-Карло можно увидеть в классическом эксперименте с использованием случайных бросков дротиков для определения приблизительного значения числа пи. Давайте возьмем круг и разрежем его на четыре части. Тогда мы возьмем один из этих кварталов и поместим его в квадрат. Если бы мы случайным образом бросали дротики на эту площадь и сбрасывали со счетов все, что выпало из квадрата, некоторые приземлялись бы внутри круга, а некоторые - снаружи. Доля дротиков, которые приземлились в круге, к дротикам, которые приземлились снаружи, будет примерно равна четверти числа пи.

Конечно, если бы мы бросили только два или три дротика, случайность бросков сделала бы соотношение, к которому мы пришли, также довольно случайным. Это один из ключевых моментов метода Монте-Карло: размер выборки должен быть достаточно большим, чтобы результаты отражали реальные шансы, и чтобы выбросы не оказывали на него существенного влияния. В случае случайного броска дротиков мы обнаруживаем, что где-то в бросках с малыми тысячами бросков метод Монте-Карло начинает давать что-то очень близкое к пи. По мере того как мы попадаем в высокие тысячи, ценность становится все более и более точной

Конечно, на самом деле бросить тысячи дротиков на площадь будет довольно сложно. И убедиться, что делать их совершенно случайно, было бы более или менее невозможно, делая это скорее мысленным экспериментом. Но с помощью компьютера мы можем сделать действительно случайный «бросок», и мы можем быстро сделать тысячи, десятки тысяч или даже миллионы бросков. Именно с помощью компьютеров метод Монте-Карло становится действительно жизнеспособным методом расчета.

Один из самых ранних мысленных экспериментов, подобных этому, известен как проблема Игла Буффона, которая впервые была представлена ​​в конце 18-го века. Здесь представлены две параллельные деревянные планки одинаковой ширины, лежащие на полу. Затем предполагается, что мы уронили иглу на пол, и спрашивает, какова вероятность того, что игла приземлится под таким углом, что она пересекает линию между двумя полосами. Это может быть использовано для вычисления пи до впечатляющей степени. Действительно, итальянский математик, Марио Лаззарини, действительно проводил этот эксперимент, бросая иглу 3408 раз, и достиг 3.1415929 (355/113), ответ, удивительно близкий к фактическому значению числа пи.

Конечно, метод Монте-Карло использует гораздо больше, чем простое вычисление числа Пи. Это полезно во многих ситуациях, когда точные результаты не могут быть вычислены, как своего рода сокращенный ответ. Наиболее широко он использовался в Лос-Аламосе во время ранних ядерных проектов 1940-х годов, и именно эти ученые придумали термин метод Монте-Карло, чтобы описать его случайность, так как он был похож на многие азартные игры, в которые играли в Монте. Карло. Различные формы метода Монте-Карло можно найти в компьютерном дизайне, физической химии, ядерной физике и физике элементарных частиц, голографических науках, экономике и многих других дисциплинах. Любая область, где требуется мощность для вычисления точных результатов, например, движение миллионов атомов, потенциально может получить значительную помощь с помощью метода Монте-Карло.