Was sind expandierende Logarithmen?
Viele Gleichungen können durch Erweiterung von Logarithmen vereinfacht werden.Der Begriff erweitertes Logarithmen bezieht sich nicht auf Logarithmen, die sich erweitern, sondern auf einen Prozess, durch den ein mathematischer Ausdruck einen anderen nach bestimmten Regeln ersetzt wird.Es gibt drei solche Regeln.Jede von ihnen entspricht einer bestimmten Eigenschaft von Exponenten, da die Einnahme eines Logarithmus die funktionale Inverse der Exponentiation ist: log 3 (9) ' 2, weil 3 2 ' 9.
Die häufigste Regel für die Erweiterung von Logarithmen wird verwendetgetrennte Produkte.Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der jeweiligen Logarithmen: log a ( x*y ) ' log a ( x ) + log a (y).Diese Gleichung wird aus der Formel a x * a y ' a x+y abgeleitet.Es kann auf mehrere Faktoren erweitert werden: log a ( x*y*z*w ) ' log a ( x ) + log a ( y ) +log a ( z ) + log a ( w ).
Eine Zahl auf eine negative Leistung erhöht, ist gleichbedeutend mit der Erhöhung ihrer gegenseitigen Leistung: 5 -2 '(1/5) 2 ' 1/25.Die äquivalente Eigenschaft für Logarithmen ist, dass log a (1/ x ) ' -log a ( x ).Wenn diese Eigenschaft mit der Produktregel kombiniert wird, gibt sie ein Gesetz für die Einnahme des Logarithmus eines Verhältnisses: log a ( x / y ) ' log a ( x ) -Protokoll a ( y ).
Die endgültige Regel für die Erweiterung von Logarithmen bezieht sich auf den Logarithmus einer Zahl, die an eine Leistung erhoben wird.Unter Verwendung der Produktregel stellt man fest, dass log a ( x 2 ) ' log a ( x ) + log a ( x ) ' 2*log a ( x ).In ähnlicher Weise log a ( x 3 ) ' log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x) ' 3*log a ( x ).Im Allgemeinen log a ( x n ) ' n *log a ( x ), auch wenn n keine ganze Zahl ist.Regeln können kombiniert werden, um Protokollausdrücke komplexerer Charaktere zu erweitern.Beispielsweise kann man die zweite Regel auf log
a ( x 2 y / z ) anwenden, wobei das Expressionsprotokoll a ( x 2 y erhalten wird) - log a (z).Dann kann die erste Regel auf den ersten Term angewendet werden, wobei Protokoll a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ).Schließlich führt die Anwendung der dritten Regel zum Ausdruck 2*log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ). Durch die Erweiterung von Logarithmen können viele Gleichungen schnell gelöst werden.Zum Beispiel kann jemand ein Sparkonto mit 400 US -Dollar US -Dollar eröffnen.Wenn das Konto 2 Prozent jährliche Zinsen monatlich zusammenfasst, kann die Anzahl der erforderlichen Monate, bevor sich das Konto des Wertes verdoppelt, mit der Gleichung 400*(1 + 0,02/12)
M ' 800. Dividierung durch 400 Ausbeuten (Renditen (1 + 0,02/12) gefunden werden1 + 0,02/12) M ' 2. Das Basis-10-Logarithmus beider Seiten erzeugt das Gleichungslog 10 (1 + 0,02/12) M ' log 10 (2). Diese Gleichung kann mit der Leistungsregel zu
m*log 10 (1 + 0,02/12) ' log 10 (2) vereinfacht werden.Mit einem Taschenrechner, um die Logarithmen zu ermitteln, ergibt sich M *(0,00072322) ' 0,30102.Bei der Lösung von m findet man, dass es 417 Monate dauert, bis das Konto an Wert verdoppelt wird, wenn kein zusätzliches Geld eingezahlt wird.