ในคณิตศาสตร์คอนจูเกตที่ซับซ้อนคือคู่ของตัวเลขสององค์ประกอบที่เรียกว่าตัวเลขที่ซับซ้อน จำนวนเชิงซ้อนเหล่านี้แต่ละตัวมีองค์ประกอบจำนวนจริงที่เพิ่มเข้ามาในองค์ประกอบจินตภาพ แม้ว่าค่าของพวกเขาจะเท่ากัน แต่เครื่องหมายของส่วนประกอบจินตภาพหนึ่งในคู่ของตัวเลขคอนจูเกตที่ซับซ้อนนั้นตรงกันข้ามกับเครื่องหมายของอีกตัวหนึ่ง แม้จะมีส่วนประกอบจินตภาพ แต่คอนจูเกตที่ซับซ้อนก็ใช้อธิบายความเป็นจริงทางกายภาพ การใช้คอนจูเกตที่ซับซ้อนนั้นสามารถใช้งานได้แม้ว่าจะมีส่วนประกอบจินตภาพอยู่ก็ตามเพราะเมื่อส่วนประกอบทั้งสองถูกคูณเข้าด้วยกันผลลัพธ์ก็คือจำนวนจริง
ตัวเลขในจินตนาการถูกกำหนดเป็นตัวเลขใด ๆ ที่เมื่อยกกำลังสองจะส่งผลให้มีจำนวนลบจริง สิ่งนี้อาจได้รับการปรับปรุงใหม่ในเงื่อนไขอื่น ๆ เพื่อให้ง่าย จำนวนจินตภาพคือจำนวนจริงใด ๆ ที่คูณด้วยรากที่สองของจำนวนลบ (-1) - โดยตัวของมันเองไม่สามารถเข้าใจได้ ในรูปแบบนี้คอนจูเกตที่ซับซ้อนคือคู่ของตัวเลขที่สามารถเขียนได้ y = a + bi และ y = a – bi โดยที่ "i" คือรากที่สองของ -1 เพื่อแยกความแตกต่างของค่า y สองค่าหนึ่งโดยทั่วไปจะเขียนด้วยแถบเหนือตัวอักษรӯแม้ว่าบางครั้งจะใช้เครื่องหมายดอกจัน
แสดงให้เห็นว่าการคูณของจำนวนคอนจูเกตที่ซับซ้อนสองครั้งก่อให้เกิดผลลัพธ์จริงลองพิจารณาตัวอย่าง y = 7 + 2i และӯ = 7–2 การคูณทั้งสองให้yӯ = 49 + 14i – 14i – 4i 2 = 49 + 4 = 53 ผลลัพธ์ที่แท้จริงจากการคูณคอนจูเกตที่ซับซ้อนนั้นมีความสำคัญโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการพิจารณาระบบที่ระดับอะตอมและอะตอมย่อย บ่อยครั้งที่การแสดงออกทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบทางกายภาพขนาดเล็กรวมถึงองค์ประกอบในจินตนาการ วินัยที่สำคัญเป็นพิเศษคือกลศาสตร์ควอนตัมฟิสิกส์ที่ไม่ใช่แบบดั้งเดิมของขนาดเล็กมาก
ในกลศาสตร์ควอนตัมคุณสมบัติของระบบทางกายภาพที่ประกอบด้วยอนุภาคถูกอธิบายโดยสมการคลื่น สิ่งที่จะต้องเรียนรู้เกี่ยวกับอนุภาคในระบบสามารถเปิดเผยได้จากสมการเหล่านี้ บ่อยครั้งที่สมการคลื่นมีองค์ประกอบจินตภาพ การเพิ่มสมการโดยการผันคำกริยาที่ซับซ้อนในการตีความทางกายภาพ "ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น" ลักษณะของอนุภาคอาจถูกกำหนดโดยการจัดการทางคณิตศาสตร์ในเรื่องความหนาแน่นของความน่าจะเป็นนี้
ตัวอย่างเช่นการใช้ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเป็นสิ่งสำคัญในการปล่อยสเปกตรัมโดยสิ้นเชิงของรังสีจากอะตอม การประยุกต์ใช้ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเช่นนี้เรียกว่า "ความน่าจะเป็นที่เกิด" หลังจากนักฟิสิกส์ชาวเยอรมันแม็กซ์เกิด การตีความทางสถิติที่สำคัญที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดซึ่งการวัดระบบควอนตัมจะให้ผลลัพธ์ที่เฉพาะเจาะจงบางอย่างเรียกว่ากฎการเกิด แม็กซ์บอร์นเป็นผู้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ปี 1954 จากผลงานของเขาในด้านนี้ น่าเสียดายที่ความพยายามที่จะได้มาซึ่งกฎการเกิดจากผลการคำนวณทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ได้พบกับผลลัพธ์ที่หลากหลาย
