สัมประสิทธิ์ทวินามคืออะไร?

สัมประสิทธิ์ทวินามกำหนดจำนวนชุดค่าผสมที่เป็นไปได้เมื่อเลือกผลลัพธ์จำนวนหนึ่งจากชุดขนาดที่กำหนด พวกเขาจะใช้ในทฤษฎีบททวินามซึ่งเป็นวิธีการขยายทวินาม - ฟังก์ชั่นพหุนามที่มีสองคำ ยกตัวอย่างเช่นรูปสามเหลี่ยมของปาสกาลประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ทวินามเท่านั้น

ในทางคณิตศาสตร์สัมประสิทธิ์ทวินามจะถูกเขียนเป็นตัวเลขสองตัวในแนวตั้งภายในวงเล็บ จำนวนสูงสุดที่แสดงด้วย "n" คือจำนวนความเป็นไปได้ทั้งหมด โดยทั่วไปจะแสดงด้วย "r" หรือ "k" หมายเลขด้านล่างคือจำนวนผลลัพธ์ที่ไม่ได้เรียงลำดับที่จะเลือกจาก "n" ตัวเลขทั้งสองเป็นค่าบวกและ "n" มากกว่าหรือเท่ากับ "r"

สัมประสิทธิ์ทวินามหรือจำนวนวิธีที่สามารถเลือก "r" จาก "n" ได้โดยใช้แฟคทอเรียล แฟกทอเรียลคือจำนวนคูณจำนวนที่น้อยที่สุดถัดไปคูณด้วยจำนวนที่น้อยที่สุดถัดไปและต่อไปเรื่อย ๆ จนกว่าสูตรจะถึงหนึ่ง มันถูกแสดงทางคณิตศาสตร์เป็น n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1) ศูนย์แฟคทอเรียลเท่ากับหนึ่ง

สำหรับสัมประสิทธิ์ทวินามสูตรคือ n แฟคทอเรียล (n!) หารด้วยผลคูณของ (n - r)! คูณ r! ซึ่งสามารถลดลงได้ ถ้า n คือ 5 และ r คือ 2 ตัวอย่างเช่นสูตรคือ 5! / (5 - 2)! 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1) ในกรณีนี้ 3 * 2 * 1 อยู่ทั้งในตัวเศษและส่วนดังนั้นจึงสามารถยกเลิกได้จากเศษส่วน ผลลัพธ์นี้ใน (5 * 4) / (2 * 1) ซึ่งเท่ากับ 10

ทฤษฎีบททวินามเป็นวิธีการคำนวณการขยายตัวของฟังก์ชันทวินามซึ่งแสดงโดย (a + b) ^ n - a บวก b ถึงกำลังที่ n; a และ b สามารถประกอบด้วยตัวแปรค่าคงที่หรือทั้งสองอย่าง เพื่อขยายทวินามคำแรกในการขยายคือสัมประสิทธิ์ทวินามของ n และ 0 คูณ a ^ n เทอมที่สองคือค่าสัมประสิทธิ์ทวินามของ n และ 1 คูณ a ^ (n-1) b แต่ละคำที่ตามมาของการขยายตัวจะถูกคำนวณโดยการเพิ่ม 1 ไปยังหมายเลขด้านล่างในสัมประสิทธิ์ทวินามเพิ่มเป็นกำลังของ n ลบด้วยจำนวนนั้นและเพิ่ม b ให้เป็นกำลังของจำนวนนั้น n

แต่ละหมายเลขในรูปสามเหลี่ยมของปาสคาลคือสัมประสิทธิ์ทวินามที่สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ทวินาม รูปสามเหลี่ยมเริ่มต้นด้วย 1 ที่จุดสูงสุดและแต่ละตัวเลขในแถวล่างสามารถคำนวณได้โดยการเพิ่มทั้งสองรายการเข้าด้วยกันในแนวทแยงมุมด้านบน สามเหลี่ยมของ Pascal นั้นมีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นหลายประการ - นอกจากค่าสัมประสิทธิ์ทวินามแล้วมันยังมีหมายเลขฟีโบนักชีและตัวเลขเปรียบเทียบ