สมการจำนวนมากสามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยการขยายลอการิทึม คำว่า "การขยายลอการิทึม" ไม่ได้อ้างถึงลอการิทึมที่ขยายออก แต่หมายถึงกระบวนการที่นิพจน์ทางคณิตศาสตร์หนึ่งนิพจน์ถูกแทนที่ด้วยอันอื่นตามกฎเฉพาะ มีสามกฎดังกล่าว แต่ละรายการสอดคล้องกับคุณสมบัติเฉพาะของเลขชี้กำลังเพราะการลอการิทึมนั้นเป็นฟังก์ชันผกผันของการยกกำลัง: ล็อก 3 (9) = 2 เพราะ 3 2 = 9
กฎที่พบบ่อยที่สุดสำหรับการขยายลอการิทึมใช้เพื่อแยกผลิตภัณฑ์ ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์คือผลรวมของลอการิทึมที่เกี่ยวข้อง: log a ( x * y ) = log a ( x ) + log a (y) สมการนี้ได้มาจากสูตร a x * a y = a x + y สามารถขยายได้หลายปัจจัย: บันทึก a ( x * y * z * w ) = บันทึก a ( x ) + บันทึก a ( y ) + บันทึก a ( z ) + บันทึก a ( w )
การเพิ่มจำนวนเป็นพลังงานเชิงลบนั้นเทียบเท่ากับการเพิ่มค่ากลับไปเป็นพลังงานบวก: 5 -2 = (1/5) 2 = 1/25 คุณสมบัติที่เทียบเท่าสำหรับลอการิทึมคือบันทึก (1 / x ) = -log a ( x ) เมื่อคุณสมบัตินี้รวมเข้ากับกฎของผลิตภัณฑ์จะมีกฎหมายสำหรับการใช้ลอการิทึมของอัตราส่วน: log a ( x / y ) = log a ( x ) - log a ( y )
กฎสุดท้ายสำหรับการขยายลอการิทึมเกี่ยวข้องกับลอการิทึมของตัวเลขที่ยกกำลัง การใช้กฎผลิตภัณฑ์พบว่าบันทึก ( x 2 ) = บันทึก a ( x ) + บันทึก a ( x ) = 2 * บันทึก a ( x ) ในทำนองเดียวกันบันทึก a ( x 3 ) = บันทึก a ( x ) + บันทึก a ( x ) + บันทึก a ( x ) = 3 * บันทึก a ( x ) โดยทั่วไปบันทึก a ( x n ) = n * log a ( x ) แม้ว่า n จะไม่ใช่จำนวนเต็ม
กฎเหล่านี้สามารถรวมกันเพื่อขยายการแสดงออกของตัวละครที่มีความซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่นหนึ่งสามารถใช้กฎที่สองเพื่อเข้าสู่ระบบ ( x 2 y / z ) ได้รับการบันทึกการแสดงออก a ( x 2 y ) - เข้าสู่ระบบ (z) จากนั้นกฎข้อแรกสามารถนำไปใช้กับคำแรกโดยให้บันทึก a ( x 2 ) + บันทึก a ( y ) - บันทึก a ( z ) สุดท้ายการใช้กฎข้อที่สามนำไปสู่นิพจน์ 2 * log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z )
การขยายลอการิทึมช่วยให้สมการจำนวนมากสามารถแก้ไขได้อย่างรวดเร็ว ตัวอย่างเช่นบางคนอาจเปิดบัญชีออมทรัพย์ด้วยเงิน 400 ดอลลาร์สหรัฐ หากบัญชีจ่ายดอกเบี้ย 2% ต่อปีทบต้นเป็นรายเดือนจำนวนเดือนที่ต้องการก่อนที่บัญชีจะมีมูลค่าเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าด้วยสมการ 400 * (1 + 0.02 / 12) m = 800 หารด้วย 400 ผลตอบแทน (1 + 0.02 / 12) m = 2 การใช้ลอการิทึมฐาน 10 ของทั้งสองข้างจะสร้างสมการ 10 (1 + 0.02 / 12) m = บันทึก 10 (2)
สมการนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้กฎกำลังกับ m * log 10 (1 + 0.02 / 12) = log 10 (2) การใช้เครื่องคิดเลขเพื่อค้นหาค่าลอการิทึมให้ค่า m * (0.00072322) = 0.30102 เราพบว่าการแก้ปัญหาสำหรับ m จะใช้เวลา 417 เดือนเพื่อให้บัญชีมีมูลค่าเพิ่มเป็นสองเท่าหากไม่มีการฝากเงินเพิ่มเติม
