การกระจายแบบทวินามคืออะไร?

การแจกแจงแบบทวินามพร้อมพารามิเตอร์ (n, p) ให้ความน่าจะเป็นแบบแยกส่วนที่มี x สำเร็จจากการทดลอง n ด้วยความน่าจะเป็นของความสำเร็จ p โดยสมมติว่าการทดลองแต่ละครั้งมีความเป็นอิสระและผลลัพธ์ของการทดลอง จำนวนเฉลี่ยของความสำเร็จจากการทดลอง n คือค่าเฉลี่ย np และความแปรปรวนคือ np (1-p) ทวินามเป็นของตระกูลของการแจกแจงเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องรวมถึงการแจกแจงลบทวินามและการแจกแจงเบอร์นูอิลลี เนื่องจากความน่าจะเป็นการแจกแจงแบบทวินามถูกคำนวณโดยใช้ฟังก์ชันแฟกทอเรียลซึ่งมีขนาดใหญ่มากเมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้นการประมาณการแจกแจงแบบทวินามของการแจกแจงแบบปกติหรือแบบปัวซองจึงถูกนำมาใช้

ตัวอย่างเช่นเหรียญที่ยุติธรรมถูกพลิกสองครั้งและประสบความสำเร็จถูกกำหนดให้เป็นหัว จำนวนการทดลองคือ n = 2 และความน่าจะเป็นในการโยนหัวคือ p = ½ ผลลัพธ์สามารถสรุปได้ในตารางการแจกแจงทวินาม: ความน่าจะเป็นที่จะไม่ได้หัว, P (x = 0) คือ 25%, ความน่าจะเป็นที่หนึ่งหัว, P (x = 1) คือ 50% และความน่าจะเป็นของสองหัว P (x = 2) คือ 25% จำนวนหัวที่คาดว่าจะโยนคือ np = 2 * 1/2 = 1 ความแปรปรวนคือ np (1-p) = ½

การแจกแจงอื่น ๆ อธิบายถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และเป็นของตระกูลเดียวกันกับทวินาม การแจกแจงแบบ Bernouilli ให้ความน่าจะเป็นของความสำเร็จของเหตุการณ์เดี่ยวและเทียบเท่ากับทวินามด้วย n = 1 การแจกแจงแบบทวินามลบนั้นให้ความน่าจะเป็นของการล้มเหลว x โดยที่ทวินามปกติให้ความน่าจะเป็นของ x

บ่อยครั้งที่ใช้ฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงแบบทวินามกระจายซึ่งให้ความน่าจะเป็นที่จะมี x หรือประสบความสำเร็จน้อยกว่าในการทดลอง n การคำนวณความน่าจะเป็นนี้ง่ายสำหรับ n ตัวเล็ก แต่น่าเบื่อเมื่อ n มีขนาดใหญ่เนื่องจากสัมประสิทธิ์ทวินาม สัมประสิทธิ์ทวินามคืออ่าน“ n เลือก x” และหมายถึงจำนวนชุดค่าผสมที่สามารถเลือกผลลัพธ์ x จากความเป็นไปได้ n คำนวณโดยใช้ฟังก์ชันแฟกทอเรียล เนื่องจากจำนวนการทดลอง (n) เพิ่มขึ้นมากกว่า 70 ทำให้แฟคทอเรียลมีจำนวนมหาศาลและไม่สามารถคำนวณบนเครื่องคิดเลขมาตรฐานได้อีกต่อไป

การประมาณการกระจายแบบทวินามเมื่อ n มีขนาดใหญ่อาจไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง ถ้า n มีขนาดใหญ่มากและ p มีขนาดเล็กมากการกระจายตัวแบบทวินามก็จะกลายเป็นการกระจายแบบปัวซองโดยสิ้นเชิง ถ้า n มีขนาดใหญ่เพียงพอโดยไม่มีข้อ จำกัด ใด ๆ บน p ดังนั้นการประมาณการแจกแจงแบบทวินามแบบปกติอาจถูกนำมาใช้ ค่าเฉลี่ยทวินามและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานกลายเป็นพารามิเตอร์ของการแจกแจงปกติและจะใช้การแก้ไขเพื่อความต่อเนื่องเมื่อคำนวณฟังก์ชันความหนาแน่นสะสม