coset เป็นเซตย่อยประเภทหนึ่งของกลุ่มคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่นหนึ่งอาจพิจารณาชุดของการคูณทวีคูณทั้งหมดของ 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ... } ซึ่งสามารถแสดงเป็น 7 Z การเพิ่ม 3 เข้ากับแต่ละหมายเลขจะสร้างชุด {... -11, -4, 3, 10, 17 ... } ซึ่งนักคณิตศาสตร์อธิบายว่า 7 Z + 3 เซตหลังนี้เรียกว่า coset ของ 7 Z ที่ สร้างขึ้นโดย 3 .
มีคุณสมบัติที่สำคัญสองประการคือ 7 Z หากตัวเลขเป็นจำนวนทวีคูณของ 7 ดังนั้นค่าผกผันเพิ่มเติม ค่าผกผันเพิ่มเติมของ 7 คือ -7, ค่าผกผันของ 14 คือ -14 และอื่น ๆ นอกจากนี้การเพิ่มทวีคูณของ 7 ลงในทวีคูณของ 7 ให้ผลคูณกับ 7 ของนักคณิตศาสตร์อธิบายโดยการบอกว่าทวีคูณของ 7 เป็น“ ปิด” ภายใต้การดำเนินการของการเพิ่ม
คุณสมบัติทั้งสองนี้เป็นสาเหตุที่ 7 Z เรียกว่ากลุ่มย่อยของจำนวนเต็มภายใต้ เฉพาะกลุ่มย่อยเท่านั้นที่มี cosets ชุดของตัวเลขลูกบาศก์ทั้งหมด {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ... }, ไม่มี cosets ในลักษณะเดียวกับ 7 Z เพราะมันไม่ได้ถูกปิดใต้ : 1 + 8 = 9 และ 9 ไม่ใช่จำนวนลูกบาศก์ ในทำนองเดียวกันชุดของตัวเลขที่เป็นค่าบวกทั้งหมด {2, 4, 6, ... } ไม่มี cosets เพราะมันไม่มีค่าผกผัน
เหตุผลสำหรับข้อกำหนดเหล่านี้คือทุกหมายเลขควรอยู่ในหนึ่ง coset ในกรณีของ {2, 4, 6, ... }, 6 อยู่ใน coset ที่สร้างโดย 4 และอยู่ใน coset ที่สร้างโดย 2 แต่ทั้งสอง cosets นั้นไม่เหมือนกัน เกณฑ์ทั้งสองนี้เพียงพอเพื่อให้แน่ใจว่าแต่ละองค์ประกอบอยู่ในหนึ่ง coset
Cosets มีอยู่ในกลุ่มใด ๆ และบางกลุ่มมีความซับซ้อนมากกว่าจำนวนเต็ม กลุ่มที่มีประโยชน์ที่อาจพิจารณาคือชุดของวิธีการย้ายสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยไม่เปลี่ยนพื้นที่ที่ครอบคลุม ถ้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหมุน 90 องศาจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงรูปร่าง ในทำนองเดียวกันมันสามารถพลิกแนวตั้งแนวนอนหรือแนวทแยงมุมทั้งสองโดยไม่ต้องเปลี่ยนพื้นที่ครอบคลุมสี่เหลี่ยม นักคณิตศาสตร์เรียกกลุ่มนี้ว่า D 4
D 4 มีแปดองค์ประกอบ องค์ประกอบสองอย่างนั้นถือว่าเหมือนกันหากพวกมันออกจากมุมทั้งหมดในที่เดียวกันดังนั้นการหมุนสี่เหลี่ยมตามเข็มนาฬิกาสี่ครั้งจึงถือเป็นสิ่งที่ไม่ทำอะไรเลย ด้วยสิ่งนี้ในใจองค์ประกอบทั้งแปดสามารถแทนได้ e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d และ d d " e " หมายถึงไม่ทำอะไรเลยและ " r 2 " หมายถึงการหมุนสองรอบ องค์ประกอบสี่ตัวสุดท้ายแต่ละอันนั้นหมายถึงการพลิกสี่เหลี่ยม: แนวตั้งแนวนอนหรือแนวทแยงมุมขึ้นหรือลง
จำนวนเต็มเป็นกลุ่ม Abelian ซึ่งหมายถึงการดำเนินการของมันเป็นไปตามกฎหมายการสับเปลี่ยน: 3 + 2 = 2 + 3 D 4 ไม่ใช่ Abelian การหมุนสแควร์แล้วหมุนในแนวนอนจะไม่ย้ายมุมในลักษณะเดียวกับการพลิกแล้วหมุน
เมื่อทำงานในกลุ่มที่ไม่ใช่การสับเปลี่ยนนักคณิตศาสตร์มักใช้ * เพื่ออธิบายการดำเนินการ งานเล็ก ๆ น้อย ๆ แสดงให้เห็นว่าการหมุนสแควร์จากนั้นพลิกมันในแนวนอน r * h ก็เหมือนกับการพลิกมันในแนวทแยงมุมลง ดังนั้น r * h = d d พลิกสี่เหลี่ยมแล้วหมุนมันจะเท่ากับการพลิกข้ามเส้นทแยงมุมขึ้นดังนั้น r * h = d u
การสั่งซื้อมีความสำคัญใน D 4 ดังนั้นเราจะต้องแม่นยำยิ่งขึ้นเมื่ออธิบาย cosets เมื่อทำงานในจำนวนเต็มวลี“ coset ของ 7 Z ที่ สร้างขึ้นโดย 3” นั้นไม่คลุมเครือเพราะมันไม่สำคัญว่าจะมีการเพิ่ม 3 ทางด้านซ้ายหรือขวาของแต่ละตัวคูณ 7 สำหรับกลุ่มย่อยของ D 4 แตกต่างกันอย่างไร คำสั่งซื้อจะสร้าง cosets ที่แตกต่างกัน จากการคำนวณอธิบายก่อนหน้านี้ r * H , coset ด้านซ้ายของ H ที่ สร้างโดย r - เท่ากับ { r, d d } แต่ H * r เท่ากับ ( r, d u } ความต้องการที่ไม่มีองค์ประกอบใดในสอง cosets ที่ต่างกัน ใช้ไม่ได้เมื่อเปรียบเทียบด้านขวากับด้านซ้าย
cosets ด้านขวาของ H ไม่ตรงกับ cosets ด้านซ้าย ไม่ใช่กลุ่มย่อยทั้งหมดของ D 4 ที่ใช้ คุณสมบัตินี้ร่วมกัน หนึ่งสามารถพิจารณากลุ่มย่อย R ของการหมุนทั้งหมดของสแควร์, R = { e, r, r 2 , r 3 }
การคำนวณเล็กน้อยแสดงให้เห็นว่าจักรวาลด้านซ้ายของมันนั้นเหมือนกับด้านขวาของจักรวาล กลุ่มย่อยดังกล่าวเรียกว่ากลุ่มย่อยปกติ กลุ่มย่อยปกติมีความสำคัญอย่างยิ่งในพีชคณิตนามธรรมเพราะเข้ารหัสข้อมูลเพิ่มเติมเสมอ ตัวอย่างเช่น cosets ที่เป็นไปได้สองแห่งของ R เท่ากับสองสถานการณ์ที่เป็นไปได้“ จัตุรัสถูกพลิก” และ“ จัตุรัสยังไม่พลิก”
