ตัวกำหนดคืออะไร?

เมทริกซ์เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่แปลงรูปร่าง ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัส A ซึ่งเขียนแทน | A | เป็นตัวเลขที่สรุปผลกระทบ A ที่มีต่อขนาดและทิศทางของตัวเลข ถ้า [ ab ] เป็นเวกเตอร์แถวบนสุดสำหรับ A และ [ cd ] เป็นเวกเตอร์แถวล่างของมันดังนั้น | A | = ad-bc

ดีเทอร์มิแนนต์จะเข้ารหัสข้อมูลที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับวิธีที่เมทริกซ์เปลี่ยนภูมิภาค ค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์แนนต์บ่งบอกถึงระดับสเกลของเมทริกซ์ว่ามันยืดหรือหดตัวมากแค่ไหน สัญญาณของมันอธิบายว่าเมทริกซ์พลิกตัวเลขเหนือภาพสะท้อนของกระจกหรือไม่ เมทริกซ์ยังสามารถเอียงภูมิภาคและหมุนได้ แต่ข้อมูลนี้ไม่ได้ระบุโดยดีเทอร์มิแนนต์

การคำนวณการแปลงของเมทริกซ์นั้นคำนวณโดยการคูณเมทริกซ์ ถ้า A เป็นเมทริกซ์ 2x2 ที่มีแถวบน [ ab ] และแถวล่าง [ cd ] ดังนั้น [1 0] * A = [ ab ] และ [0 1] * A = [ cd ] ซึ่งหมายความว่า A นำคะแนน (1,0) ไปยังจุด ( a, b ) และจุด (0,1) ไปยังจุด ( c, d ) เมทริกซ์ทั้งหมดออกจากจุดกำเนิดดั้งเดิมโดยไม่ต้องสนใจดังนั้นจึงเห็นว่า A แปลงรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดสิ้นสุดที่ (0,0), (0,1), และ (1,0) ไปยังรูปสามเหลี่ยมอื่นที่มีจุดสิ้นสุดที่ (0,0), ( a , b ) และ ( c, d ) อัตราส่วนของพื้นที่สามเหลี่ยมใหม่นี้ต่อสามเหลี่ยมต้นฉบับเท่ากับ | ad-bc | ค่าสัมบูรณ์ของ | A |

เครื่องหมายของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์อธิบายว่าเมทริกซ์พลิกรูปร่างหรือไม่ พิจารณาสามเหลี่ยมที่มีจุดสิ้นสุดที่ (0,0), (0,1) และ (1,0) หากเมทริกซ์ A เก็บคะแนน (0,1) นิ่งอยู่กับที่ขณะที่นำจุด (1,0) ไปยังจุด (-1,0) จากนั้นมันพลิกสามเหลี่ยมเหนือเส้น x = 0 เนื่องจาก A ได้พลิกตัวเลขไปแล้ว | A | จะเป็นลบ เมทริกซ์ไม่ได้เปลี่ยนขนาดของพื้นที่ดังนั้น | A | ต้องเป็น -1 เพื่อให้สอดคล้องกับกฎที่ค่าสัมบูรณ์ของ | A | อธิบายว่า A ยืดร่างภาพมากแค่ไหน

เมทริกซ์เลขคณิตเป็นไปตามกฎหมายที่เกี่ยวข้องซึ่งหมายความว่า ( v * A) * B = v * (A * B) ซึ่งหมายความว่าการกระทำที่รวมกันของการเปลี่ยนรูปร่างครั้งแรกด้วยเมทริกซ์ A จากนั้นการเปลี่ยนรูปร่างด้วยเมทริกซ์ B จะเทียบเท่ากับการเปลี่ยนรูปร่างดั้งเดิมด้วยผลิตภัณฑ์ (A * B) หนึ่งสามารถอนุมานได้จากการสังเกตนี้ว่า | A | * | B | = | A * B |

สมการ | A | * | B | = | A * B | มีผลที่สำคัญเมื่อ | A | = 0 ในกรณีดังกล่าวการกระทำของ A ไม่สามารถยกเลิกได้โดยเมทริกซ์ B อื่น ๆ สิ่งนี้สามารถอนุมานได้โดยการสังเกตว่าหาก A และ B เป็นผกผันดังนั้น (A * B) ไม่ยืดหรือพลิกภูมิภาคใด ๆ ดังนั้น | A * B | = 1. ตั้งแต่ | A | * | B | = | A * B | การสังเกตครั้งสุดท้ายนี้นำไปสู่สมการที่เป็นไปไม่ได้ 0 * | B | = 1

การเรียกร้องการสนทนาสามารถแสดงได้เช่นกัน: ถ้า A เป็นเมทริกซ์จตุรัสที่มีปัจจัยไม่เป็นศูนย์ดังนั้น A มีการ กลับ กัน ในทางเรขาคณิตนี่คือการกระทำของเมทริกซ์ใด ๆ ที่ไม่ทำให้ภูมิภาคเรียบ ยกตัวอย่างเช่น squishing สแควร์ในส่วนของเส้นสามารถยกเลิกได้โดยเมทริกซ์อื่น ๆ ที่เรียกว่าผกผันของมัน สิ่งที่ตรงกันข้ามคือเมทริกซ์อะนาล็อกของส่วนกลับ