จุดโรคติดเชื้อเป็นแนวคิดที่สำคัญในแคลคูลัสที่แตกต่างกัน เมื่อถึงจุดเปลี่ยนโค้งของฟังก์ชั่นจะเปลี่ยนความเว้าของมัน - กล่าวอีกนัยหนึ่งมันเปลี่ยนจากเชิงลบเป็นความโค้งเชิงบวกหรือในทางกลับกัน จุดนี้สามารถกำหนดหรือมองเห็นได้ในรูปแบบที่แตกต่างกัน ในแอปพลิเคชันในโลกแห่งความจริงที่มีการจำลองระบบโดยใช้เส้นโค้งการค้นหาจุดเปลี่ยนมักจะมีความสำคัญในการคาดการณ์พฤติกรรมของระบบ
ฟังก์ชันในแคลคูลัสสามารถสร้างกราฟบนระนาบที่ประกอบด้วยแกน x และ y ที่เรียกว่าระนาบคาร์ทีเซียน ในฟังก์ชั่นที่กำหนดใด ๆ ค่า x หรือค่าที่ป้อนเข้าสู่สมการก่อให้เกิดผลลัพธ์ที่แสดงโดยค่า y เมื่อกราฟแล้วค่าเหล่านี้จะเป็นเส้นโค้ง
เส้นโค้งสามารถเว้าขึ้นหรือเว้าลงขึ้นอยู่กับพฤติกรรมของฟังก์ชั่นมากกว่าค่าบางอย่าง พื้นที่เว้าขึ้นด้านบนจะปรากฏบนกราฟเป็นเส้นโค้งคล้ายชามขึ้นด้านบนในขณะที่พื้นที่เว้าลงด้านล่างจะเปิดลง จุดที่ความเปลี่ยนแปลงนี้เว้าเป็นจุดเปลี่ยน
มีวิธีการที่แตกต่างกันสองสามอย่างที่อาจเป็นประโยชน์ในการมองเห็นจุดที่โรคติดเชื้ออยู่บนเส้นโค้ง หากมีใครวางจุดบนเส้นโค้งด้วยเส้นตรงที่ลากผ่านมันที่เพิ่งสัมผัสกับเส้นโค้ง - เส้นสัมผัส - และวิ่งจุดนั้นไปตามเส้นทางของเส้นโค้งจุดผันจะเกิดขึ้นที่จุดที่ตรง เส้นตัดผ่านเส้นโค้ง
ในทางคณิตศาสตร์จุดที่ทำให้งอเป็นจุดที่การเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ที่สองเข้าสู่ระบบ อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันเมื่ออินพุตเปลี่ยนแปลงและอนุพันธ์อันดับสองวัดว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงนี้อาจเปลี่ยนแปลงได้อย่างไร ตัวอย่างเช่นความเร็วของรถยนต์ในช่วงเวลาที่กำหนดจะแสดงด้วยอนุพันธ์อันดับแรก แต่การเร่งความเร็ว - การเพิ่มหรือลดความเร็ว - จะแสดงโดยอนุพันธ์อันดับสอง หากรถเร็วขึ้นอนุพันธ์อันดับสองของมันจะเป็นบวก แต่เมื่อถึงจุดที่มันหยุดเร่งและเริ่มช้าลงการเร่งความเร็วและอนุพันธ์อันดับสองจะกลายเป็นลบ นี่คือจุดที่ทำให้เกิดการผัน
เพื่อให้เห็นภาพกราฟิกนี้เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้ว่าความโค้งเว้าของฟังก์ชั่นนั้นแสดงออกด้วยอนุพันธ์อันดับสอง อนุพันธ์อันดับสองที่เป็นบวกแสดงให้เห็นถึงโค้งเว้าขึ้นและอนุพันธ์อันดับสองที่เป็นลบนั้นแสดงถึงเส้นโค้งที่เว้าลง เป็นการยากที่จะระบุจุดที่แน่นอนของการผันบนกราฟดังนั้นสำหรับแอปพลิเคชันที่จำเป็นต้องทราบค่าที่แน่นอนของมันจุดการผันนั้นสามารถแก้ไขได้ในเชิงคณิตศาสตร์
วิธีหนึ่งในการหาจุดผันของฟังก์ชันคือการหาอนุพันธ์อันดับสองของมันตั้งค่าเท่ากับศูนย์และแก้หา x ไม่ใช่ศูนย์ทุกค่าในวิธีนี้จะเป็นจุดเปลี่ยน, ดังนั้นจึงจำเป็นที่จะต้องทดสอบค่าที่ด้านใดด้านหนึ่งของ x = 0 เพื่อให้แน่ใจว่าสัญญาณของอนุพันธ์อันดับสองเปลี่ยนไปจริง ๆ ถ้าเป็นเช่นนั้นค่าที่ x คือจุดเปลี่ยน
