ทฤษฎีบทของเบย์บางครั้งเรียกว่ากฎของเบย์หรือหลักการของความน่าจะเป็นแบบผกผันเป็นทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่ตามมาอย่างรวดเร็วจากสัจพจน์ของทฤษฎีความน่าจะเป็น ในทางปฏิบัติมันถูกใช้เพื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่อัปเดตของปรากฏการณ์เป้าหมายหรือสมมติฐาน H ที่ได้รับจากข้อมูลเชิงประจักษ์ใหม่ X และข้อมูลความเป็นมาบางส่วนหรือความน่าจะเป็นก่อนหน้านี้
ความน่าจะเป็นก่อนหน้าของสมมติฐานบางอย่างมักจะแสดงโดยร้อยละบางส่วนระหว่าง 0% และ 100% หรือจำนวนระหว่าง 0 และ 1 ความน่าจะเป็นนี้มักจะเรียกว่า ระดับของความเชื่อมั่น และมีความหมายแตกต่างจากผู้สังเกตการณ์ถึงผู้สังเกตการณ์ มีประสบการณ์เดียวกันดังนั้นจึงไม่สามารถประมาณการความน่าจะเป็นที่เท่าเทียมกันสำหรับสมมติฐานใด ๆ การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเบย์ในบริบททางวิทยาศาสตร์เรียกว่าการอนุมานแบบเบย์ซึ่งเป็นระเบียบวิธีเชิงปริมาณของระเบียบวิธีทางวิทยาศาสตร์ จะช่วยให้การแก้ไขที่ดีที่สุดของการแจกแจงความน่าจะเป็นทางทฤษฎีที่ได้รับผลการทดลอง
ทฤษฎีบทของเบย์ในบริบทของการอนุมานทางวิทยาศาสตร์กล่าวว่า: "ความน่าจะเป็นใหม่ของสมมติฐานบางอย่าง H เป็นจริง (เรียกว่าความน่าจะเป็นหลัง) ได้รับหลักฐานใหม่ X เท่ากับความน่าจะเป็นที่เราจะสังเกตเห็นหลักฐานนี้ X เนื่องจาก H จริง (เรียกว่าความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขหรือความน่าจะเป็น) คูณด้วยความน่าจะเป็นก่อนหน้านี้ของ H ที่เป็นจริงทั้งหมดหารด้วยความน่าจะเป็นของ X
การกล่าวซ้ำข้างต้นโดยทั่วไปในแง่ของผลการทดสอบก่อให้เกิดความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วยที่ได้รับมะเร็งสามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้:
P (บวก | มะเร็ง) p * (มะเร็ง)
_______________________________________________
p (บวก | มะเร็ง) * p (มะเร็ง) + p (บวก | ~ มะเร็ง) * p (~ มะเร็ง)
แถบแนวตั้งหมายถึง "กำหนด" ความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วยมีโรคมะเร็งหลังจากผลบวกในการทดสอบมะเร็งบางอย่างเทียบเท่ากับความน่าจะเป็นของผลบวกที่ได้รับจากการได้รับมะเร็ง (จากผลลัพธ์ที่ผ่านมา) คูณกับความน่าจะเป็นก่อนหน้าของบุคคลใดก็ตาม จำนวนเดียวกันบวกความน่าจะเป็นของการบวกผิดคูณความน่าจะเป็นก่อนหน้านี้ที่ไม่มีมะเร็ง
มันฟังดูซับซ้อน แต่สมการข้างต้นสามารถใช้ในการกำหนดความน่าจะเป็นที่อัปเดตของสมมติฐานใด ๆ ที่ให้ผลการทดลองเชิงปริมาณใด ๆ
