พื้นที่ใด ๆ ที่ไม่แบนอย่างสมบูรณ์เรียกว่าพื้นที่โค้ง พื้นผิวทรงกลมมีพื้นที่โค้งเช่นเดียวกับพื้นผิวของอาน ทรงกลมเป็นตัวอย่างของความโค้งในเชิงบวกซึ่งหมายถึงถ้าสามเหลี่ยมถูกสร้างขึ้นด้วยเส้นตรงในพื้นที่โค้งมุมจะเพิ่มขึ้นมากกว่า 180 องศาปกติ อานเป็นตัวอย่างของการเว้นระยะโค้งเชิงลบ แรงโน้มถ่วงเกิดจากความโค้งของอวกาศ - พื้นที่ส่วนโค้งขนาดใหญ่ซึ่งบังคับให้วัตถุดึงเข้าหากัน
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมักจะถูกใช้เพื่อตรวจสอบว่าพื้นที่นั้นแบนหรือโค้ง สูตรคณิตศาสตร์นี้ใช้ความยาวของแต่ละด้านของสามเหลี่ยมแทนที่จะเป็นมุม หากความยาวตรงกับที่ทฤษฎีบทระบุดังนั้นสามเหลี่ยมอยู่ในพื้นที่ราบ หากความยาวไม่ตรงกับทฤษฎีบทดังนั้นสามเหลี่ยมนั้นอยู่ในพื้นที่โค้ง มุมนั้นยากที่จะวัดในระยะทางไกล แต่การวัดด้านข้างหรือปริมณฑลของรูปสามเหลี่ยมสามารถแสดงลักษณะของพื้นที่ได้อย่างง่ายดาย
เรขาคณิตแบบยูคลิดคือการศึกษารูปร่างในพื้นที่ราบ มันขึ้นอยู่กับรายการของข้อมูลพื้นฐานที่เรียกว่าสัจพจน์และพิสูจน์แนวคิดทางคณิตศาสตร์มากมายเช่นทฤษฎีบทพีทาโกรัส สัจพจน์มักไม่ได้รับการพิสูจน์ซึ่งหมายความว่ามันไม่ได้เป็นจริงเสมอไปในพื้นที่โค้งหรือเรขาคณิตที่ไม่ใช่ยูคลิด สามเหลี่ยมทุกอันมี 180 องศาในเรขาคณิตแบบยุคลิดซึ่งง่ายต่อการพิสูจน์ในพื้นที่โค้งโดยการวัดแต่ละมุมด้วยไม้โปรแทรกเตอร์
พื้นที่โค้งมีบทบาทสำคัญในดาราศาสตร์สมัยใหม่ แรงโน้มถ่วงเป็นพื้นที่โค้งรอบตัววัตถุขนาดใหญ่ที่ทำให้วัตถุขนาดเล็กโคจรหรือชนกับวัตถุขนาดใหญ่ สิ่งนี้ไม่ถูกค้นพบจนกระทั่ง Einstein ตีพิมพ์ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปซึ่งอธิบายแรงโน้มถ่วงแรกว่าเป็นพื้นที่โค้ง ก่อนหน้านี้นักดาราศาสตร์คำนวณวงโคจรอย่างไม่ถูกต้องเนื่องจากอวกาศได้รับการปฏิบัติเหมือนเป็นแบบยุคลิดแบบสามมิติ นักดาราศาสตร์สมัยใหม่สามารถคำนวณและทำนายมากขึ้นด้วยอวกาศที่ไม่ใช่ยูคลิดเช่นหลุมดำและกาแลคซีเคลื่อนที่อย่างไร
แม้แต่ไอแซคนิวตันพ่อของฟิสิกส์ก็ใช้เรขาคณิตแบบยุคลิด มันเป็นวิธีเดียวที่จะศึกษารูปร่างมานานกว่า 2000 ปี จากนั้นในศตวรรษที่ 19 ปลายสัจพจน์ที่เส้นขนานไม่เคยถูกตัดทอนโดย Janos Bolyai ไอน์สไตน์สามารถเข้าใจรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่ยูคลิดและสามารถนำมาใช้ในการทำนายวงโคจรที่แปลกประหลาดของดาวพุธได้อย่างถูกต้อง มุมมองที่ทันสมัยคือรูปทรงแบบยุคลิดที่แท้จริงมีอยู่ในที่ห่างไกลจากร่างกายความโน้มถ่วงเท่านั้น
