ฟังก์ชั่น Kronecker delta, เขียนแทนδ i, j , เป็นฟังก์ชันเลขฐานสองที่เท่ากับ 1 ถ้า i และ j เท่ากันและเท่ากับ 0 มิฉะนั้น แม้ว่าในทางเทคนิคแล้วมันจะมีฟังก์ชั่นของตัวแปรสองตัว แต่ในทางปฏิบัติมันถูกใช้เป็นชวเลขที่น่าสังเกตซึ่งช่วยให้สามารถเขียนข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนได้อย่างกระชับ นักคณิตศาสตร์ฟิสิกส์และวิศวกรที่ทำงานในพีชคณิตเชิงเส้นการวิเคราะห์เทนเซอร์และการประมวลผลสัญญาณดิจิตอลใช้ฟังก์ชั่น Kronecker delta เป็นวิธีที่สะดวกในการถ่ายทอดในสมการเดียวสิ่งที่อาจใช้ข้อความหลายบรรทัด
ฟังก์ชั่นนี้มักใช้เพื่อลดความซับซ้อนของการเขียนสมการที่เกี่ยวข้องกับสัญกรณ์ซิกมาซึ่งเป็นวิธีการที่กระชับในการอ้างถึงผลรวมที่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่นหาก บริษัท มีพนักงาน 30 คน { e 1 , e 2 ... e 30 } และพนักงานแต่ละคนทำงานเป็นจำนวนชั่วโมงที่แตกต่างกัน { h 1 , h 2 ... h 30 } ในอัตรารายชั่วโมงที่แตกต่างกัน { r 1 , r 2 ... r 30 }, เงินทั้งหมดที่จ่ายให้กับพนักงานเหล่านี้สำหรับการทำงานของพวกเขาเท่ากับ e 1 * h 1 * r 1 + e 2 * h 2 * r 2 + e 3 * h 3 * r 3 + .. e 30 * h 30 * r 30 นักคณิตศาสตร์สามารถเขียนบทสรุปนี้ได้เช่น as i e i * h i * r i
เมื่ออธิบายระบบทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับหลายมิตินักฟิสิกส์มักต้องใช้การสรุปสองครั้ง แอปพลิเคชันทางวิทยาศาสตร์ที่ใช้งานได้จริงมีความซับซ้อนมาก แต่ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันของ Kronecker delta สามารถทำให้นิพจน์ในกรณีเหล่านี้ง่ายขึ้นได้อย่างไร
มีร้านขายเสื้อผ้าสามแห่งในห้างสรรพสินค้าแต่ละแห่งขายแบรนด์ต่างกัน มีเสื้อให้เลือกทั้งหมด 20 แบบ: แปดแบบที่นำเสนอโดยร้าน 1, 7 ข้อเสนอจากร้าน 2 และห้าข้อเสนอที่ร้าน 3 แบบกางเกงสิบสองแบบมีให้เลือก: ห้าที่ร้าน 1, สามที่ร้าน 2 และสี่ที่ร้าน 3 หนึ่งสามารถซื้อ 240 ชุดที่เป็นไปได้เพราะมี 20 ตัวเลือกสำหรับเสื้อและ 12 ตัวเลือกสำหรับกางเกง ชุดค่าผสมแต่ละชุดให้ผลต่างกัน
มันไม่ง่ายเลยที่จะคำนวณจำนวนวิธีในการเลือกชุดที่เสื้อและกางเกงมาจากร้านค้าต่าง ๆ หนึ่งสามารถเลือกเสื้อจากร้านค้า 1 และกางเกงจากร้าน 2 ใน 8 * 3 วิธี มี 8 * 4 วิธีในการเลือกเสื้อจากร้านค้า 1 และกางเกงจากร้านค้า 3 ต่อเนื่องในลักษณะนี้เราพบว่าจำนวนชุดทั้งหมดที่ใช้บทความจากร้านค้าต่าง ๆ คือ 8 * 3 + 8 * 4 + 7 * 5 + 7 * 4 + 5 * 5 + 5 * 3 = 199
หนึ่งสามารถพิจารณาความพร้อมของเสื้อและกางเกงเป็นสองลำดับ { s 1 , s 2 , s 3 } = {8, 7, 5} และ { p 1 , p 2 , p 3 } = {5, 3, 4} . จากนั้นฟังก์ชั่น Kronecker delta ช่วยให้การเขียนผลรวมนี้เป็นเพียงแค่ ∑ i ∑ j s i * p j * (1- δ i, j ) คำที่ (1- δ ฉัน, j ) กำจัดชุดที่ประกอบด้วยเสื้อและกางเกงที่ซื้อที่ร้านเดียวกันเพราะในกรณีนั้น i = j ดังนั้นδ i, j = 1 และ (1- δ i, j ) = 0 การคูณคำด้วย 0 ลบออกจากผลรวม
ฟังก์ชั่น Kronecker delta ใช้บ่อยที่สุดเมื่อวิเคราะห์ช่องว่างหลายมิติ แต่ยังสามารถใช้เมื่อศึกษาช่องว่างแบบหนึ่งมิติเช่นเดียวกับเส้นจำนวนจริง ในกรณีนั้นมักใช้ตัวแปรอินพุตแบบเดี่ยว: input ( n ) = 1 ถ้า n = 0; δ ( n ) = 0 เป็นอย่างอื่น หากต้องการดูว่าฟังก์ชันของ Kronecker delta สามารถใช้เพื่อลดความซับซ้อนของคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนเกี่ยวกับจำนวนจริงได้อย่างไรเราอาจพิจารณาฟังก์ชันสองฟังก์ชันต่อไปนี้ซึ่งอินพุตเป็นเศษส่วนแบบง่าย
f (a / b) = a ถ้า a = b +1, f (a / b) = -b ถ้า b = a +1 และ f (a / b) = 0 เป็นอย่างอื่น
g (a / b) = a * δ ( a - b -1) - b * δ ( a - b +1)
ฟังก์ชั่น f และ g เหมือนกัน แต่คำจำกัดความของ g นั้นกะทัดรัดและไม่ต้องใช้ภาษาอังกฤษดังนั้นนักคณิตศาสตร์ทุกคนในโลกจึงสามารถเข้าใจได้
ดังที่แสดงโดยตัวอย่างเหล่านี้อินพุตของฟังก์ชัน Kronecker delta โดยทั่วไปคือจำนวนเต็มที่เชื่อมต่อกับลำดับของค่าบางค่า การกระจายเดลต้า Dirac เป็นแอนะล็อกต่อเนื่องของฟังก์ชัน Kronecker delta ที่ใช้เมื่อรวมฟังก์ชันแทนที่จะรวมลำดับ
