ลอการิทึมธรรมชาติคืออะไร?

ลอการิทึมธรรมชาติคือลอการิทึมพร้อมฐาน e นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตจอห์นเนเปียร์ (ค.ศ. 1550-1617) ผู้ประดิษฐ์ลอการิทึม แม้ว่าเขาจะไม่ได้แนะนำแนวคิดของลอการิทึมธรรมชาติเอง แต่บางครั้งฟังก์ชั่นนี้เรียกว่าลอการิทึมของเนเปียร์ ลอการิทึมธรรมชาติถูกใช้ในงานทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมจำนวนมาก

John Napier พัฒนาชื่อ "ลอการิทึม" เป็นการรวมกันของ โลโก้ คำภาษากรีกและ arithmos คำแปลภาษาอังกฤษคือ "อัตราส่วน" และ "หมายเลข" ตามลำดับ Napier ใช้เวลา 20 ปีในการทำงานกับทฤษฎีลอการิทึมของเขาและเผยแพร่ผลงานของเขาในหนังสือ Mirifici Logarithmorum canonis descriptio ในปี 1614. การแปลภาษาอังกฤษของชื่อนี้ เป็นคำอธิบายของกฎมหัศจรรย์ของลอการิทึม .

ลอการิทึมธรรมชาติมีลักษณะเป็นลอการิทึมของฐาน e ซึ่งบางครั้งเรียกว่าค่าคงที่ของเนเปียร์ หมายเลขนี้เรียกอีกอย่างว่าหมายเลขของออยเลอร์ จดหมาย "e" ใช้เพื่อเป็นเกียรติแก่ Leonhard Euler (1707-1783) และถูกใช้เป็นครั้งแรกโดยออยเลอร์เองในจดหมายถึง Christian Goldbach ในปี 1731

ค่าผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมชาติซึ่งนิยามเป็น f (x) = e ^x เป็นฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ ฟังก์ชั่นนี้เขียนเป็น f (x) = ln (x) ฟังก์ชันเดียวกันนี้สามารถเขียนเป็น f (x) = log _e (x) แต่สัญกรณ์มาตรฐานคือ f (x) = ln (x)

โดเมนของลอการิทึมธรรมชาติคือ (0, infinity) และช่วงคือ (-infinity, infinity) กราฟของฟังก์ชั่นนี้เว้าโดยหันลง ฟังก์ชั่นนั้นเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องและแบบตัวต่อตัว

ลอการิทึมธรรมชาติของ 1 เท่ากับ 0 สมมติว่า a และ b เป็นตัวเลขบวกจากนั้น ln (a * b) เท่ากับ ln (a) + ln (b) และ ln (a / b) = ln (a) - ln (b) ถ้า a และ b เป็นตัวเลขบวกและ n เป็นจำนวนตรรกยะกว่า ln (a) = n * ln (a) คุณสมบัติเหล่านี้ของลอการิทึมธรรมชาติเป็นคุณลักษณะของฟังก์ชันลอการิทึมทั้งหมด

นิยามที่แท้จริงของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติสามารถพบได้ในอินทิกรัลของ 1 / t dt อินทิกรัลมาจาก 1 ถึง x กับ x> 0 จำนวนของออยเลอร์, e , หมายถึงจำนวนจริงบวกที่อินทิกรัลของ 1 / t dt จาก 1 ถึง e เท่ากับ 1 จำนวนของออยเลอร์เป็นจำนวนอตรรกยะ ถึง 2.7182818285

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติที่เกี่ยวกับ x คือ 1 / x อนุพันธ์ที่เกี่ยวกับ x ของค่าผกผันของฟังก์ชันลอการิทึมซึ่งเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมชาตินั้นน่าประหลาดใจที่ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นธรรมชาติอีกครั้ง กล่าวอีกนัยหนึ่งฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมชาติคืออนุพันธ์ของตัวมันเอง