โทโพโลยีเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาพื้นผิวหรือช่องว่างนามธรรมซึ่งปริมาณที่วัดได้ไม่สำคัญ เนื่องจากวิธีการทางคณิตศาสตร์นี้มีลักษณะเฉพาะบางครั้งโทโพโลยีจึงถูกเรียกว่าเรขาคณิตแผ่นยางเนื่องจากรูปร่างที่อยู่ภายใต้การพิจารณาถูกจินตนาการว่ามีอยู่บนแผ่นยางที่ยืดหยุ่นได้อย่างไร้ขีด จำกัด ในเรขาคณิตทั่วไปรูปร่างพื้นฐานเช่นวงกลมสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นพื้นฐานสำหรับการคำนวณทั้งหมด แต่ในโทโพโลยีพื้นฐานคือหนึ่งในความต่อเนื่องและตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กัน
แผนที่ทอพอโลยีสามารถมีจุดที่รวมกันจะทำให้เป็นรูปทรงเรขาคณิตเช่นสามเหลี่ยม ชุดของคะแนนนี้ถูกมองว่าเป็นพื้นที่ที่ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง อย่างไรก็ตามไม่ว่ามันจะบิดหรือยืดอย่างไรก็ตามเมื่อคะแนนบนแผ่นยางมันจะไม่เปลี่ยนแปลงไม่ว่าจะอยู่ในรูปแบบใด กรอบแนวคิดแบบนี้สำหรับคณิตศาสตร์มักใช้ในพื้นที่ที่มีการเสียรูปขนาดใหญ่หรือขนาดเล็กเช่นหลุมแรงโน้มถ่วงในอวกาศการวิเคราะห์ฟิสิกส์ของอนุภาคในระดับอะตอมย่อยและในการศึกษาโครงสร้างทางชีวภาพเช่น การเปลี่ยนแปลงรูปร่างของโปรตีน
เรขาคณิตของโทโพโลยีไม่ได้เกี่ยวข้องกับขนาดของช่องว่างดังนั้นพื้นที่ผิวของคิวบ์จึงมีโทโพโลยีแบบเดียวกับทรงกลมเนื่องจากบุคคลสามารถจินตนาการว่าพวกมันบิดไปมาจากรูปร่างหนึ่งไปอีกรูปร่างหนึ่ง รูปร่างดังกล่าวที่ใช้คุณสมบัติที่เหมือนกันจะเรียกว่า homeomorphic ตัวอย่างของสองรูปร่างทอพอโลยีที่ไม่ใช่ homeomorphic หรือไม่สามารถเปลี่ยนแปลงให้คล้ายกันเป็นทรงกลมและพรูหรือรูปโดนัท
การค้นพบคุณสมบัติเชิงพื้นที่หลักของช่องว่างที่กำหนดเป็นเป้าหมายหลักในโทโพโลยี แผนที่โทโพโลยีชุดระดับพื้นฐานเรียกว่าชุดของปริภูมิแบบยุคลิด ช่องว่างถูกจัดประเภทตามจำนวนมิติโดยที่บรรทัดคือช่องว่างในหนึ่งมิติและระนาบช่องว่างในสองมิติ พื้นที่ที่มนุษย์มีประสบการณ์นั้นเรียกว่าอวกาศยูคลิดสามมิติ ชุดของพื้นที่ที่ซับซ้อนมากขึ้นเรียกว่า manifolds ซึ่งปรากฏแตกต่างกันในระดับท้องถิ่นมากกว่าในพื้นที่ขนาดใหญ่
ชุด Manifold และทฤษฎีเงื่อนพยายามที่จะอธิบายพื้นผิวในหลายมิติเกินกว่าสิ่งที่มองเห็นได้ในระดับมนุษย์ที่แท้จริงและช่องว่างที่เชื่อมโยงกับ invariants เกี่ยวกับพีชคณิตเพื่อจัดประเภทพวกเขา กระบวนการของทฤษฎี homotopy นี้หรือความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ทอพอโลยีแบบเดียวกันนั้นเริ่มต้นโดย Henri Poincaréนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้อาศัยอยู่ในช่วงปีค. ศ. 1854 ถึง 1912 นักคณิตศาสตร์ได้พิสูจน์การทำงานของPoincaréในทุกมิติ
