Matematikte Karmaşık Eşlenik Nedir?

Matematikte, karmaşık bir eşlenik, karmaşık sayılar olarak adlandırılan iki bileşenli bir sayı çiftidir. Bu karmaşık sayıların her biri, hayali bir bileşene eklenen gerçek bir sayı bileşenine sahiptir. Değerleri eşit olsa da, karmaşık eşlenik sayılar çiftindeki hayali bileşenlerden birinin işareti diğerinin işaretinin karşısındadır. Hayali bileşenlere sahip olmasına rağmen, karmaşık eşlenikler fiziksel gerçekleri tanımlamak için kullanılır. Karmaşık eşleniklerin kullanımı, hayali bileşenlerin varlığına rağmen çalışır, çünkü iki bileşen birlikte çarpıldığında sonuç gerçek bir sayıdır.

Hayali sayılar, kare olduğunda gerçek negatif sayıyla sonuçlanan tüm sayılar olarak tanımlanır. Bu basitleştirme için başka terimlerle yeniden ifade edilebilir. Hayali bir sayı, negatif olanın (-1) kareköküyle çarpılan herhangi bir gerçek sayıdır - tek başına anlaşılmaz. Bu formda, karmaşık bir konjugat yazılabilen bir sayıdır, y = a + bi ve y = a – bi, burada “i” -1'in kareköküdür. Biçimsel olarak, iki y değerini ayırt etmek için, bazen bir yıldız işareti kullanılmasına rağmen, genellikle harfin üzerinde bir çubukla yazılır.

İki karmaşık eşlenik sayının çarpılmasının gerçek bir sonuç verdiğini göstererek, bir örnek düşünün, y = 7 + 2i ve ӯ = 7-2i. Bu ikisini çarpmak, yӯ = 49 + 14i – 14i – 4i ² = 49 + 4 = 53 verir. Karmaşık eşlenik çarpma işleminden elde edilen bu kadar gerçek bir sonuç, özellikle atomik ve atom altı seviyelerde sistemler göz önüne alındığında önemlidir. Sıklıkla, küçük fiziksel sistemler için matematiksel ifadeler hayali bir bileşen içerir. Bunun özellikle önemli olduğu disiplin, çok küçük olanın klasik olmayan fiziği olan kuantum mekaniğidir.

Kuantum mekaniğinde, bir parçacıktan oluşan fiziksel bir sistemin özellikleri bir dalga denklemi ile tanımlanmaktadır. Sistemindeki parçacık hakkında öğrenilecek her şey bu denklemlerle ortaya çıkarılabilir. Sık sık, dalga denklemleri hayali bir bileşene sahiptir. Denklemin karmaşık eşleniği ile çarpılması, fiziksel olarak yorumlanabilen bir "olasılık yoğunluğu" ile sonuçlanır. Parçacık özellikleri, bu olasılık yoğunluğunun matematiksel olarak manipüle edilmesiyle belirlenebilir.

Örnek olarak, olasılık yoğunluğunun kullanılması, atomlardan radyasyonun ayrı spektral emisyonunda önemlidir. Bu tür olasılık yoğunluğu uygulamasına Alman fizikçi Max Born'dan sonra “Doğan olasılık” denir. Bir kuantum sisteminin ölçümünün belirli belirli sonuçlar vereceği konusunda yakından ilgili önemli istatistiksel yorumlama, Born kuralı olarak adlandırılır. Max Born, 1954 Nobel Fizik Ödülü'nü bu alandaki çalışmaları için aldı. Ne yazık ki, Born kuralını diğer matematik türevlerinden türetme girişimleri karışık sonuçlarla karşılaştı.