Binom katsayıları, belirli bir büyüklükteki bir kümeden belirli sayıda sonuç seçerken mümkün olan kombinasyon sayısını tanımlar. İki terim içeren bir polinom işlevi olan binom genişletme yöntemi olan binom teoreminde kullanılırlar. Örneğin Pascal'ın üçgeni yalnızca binom katsayılarından oluşur.
Matematiksel olarak, binom katsayıları bir parantez içinde dikey olarak hizalanmış iki sayı olarak yazılır. "N" ile gösterilen üst sayı, toplam olasılık sayısıdır. Genellikle "r" veya "k" ile gösterilir, alt sayı "n" den seçilecek sıralanmamış sonuçların sayısıdır. Her iki sayı da pozitif ve "n", "r" den büyük veya eşittir.
Binom katsayısı veya "r" nin "n" den seçilebileceği yolların sayısı, faktörler kullanılarak hesaplanır. Faktoring, bir sonraki en küçük sayının bir katı çarpı sayısının bir sonraki en küçük sayının çarpımıdır ve formül bire ulaşana kadar devam eder. Matematiksel olarak n olarak temsil edilir! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Sıfır faktörlü bire eşittir.
Binom katsayısı için, formül (n -) 'in çarpımı (n - r)! r, genellikle azaltılabilir. Eğer n 5 ise ve r 2 ise, örneğin, formül 5! / (5 - 2)! 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)). Bu durumda, 3 * 2 * 1 hem payda hem de paydada olduğundan, kesirden iptal edilebilir. Bu, 10'a eşit (5 * 4) / (2 * 1) ile sonuçlanır.
Binom teoremi, (a + b) ^ n - a artı b ile ns gücüne gösterilen bir binom fonksiyonunun genişlemesini hesaplamanın bir yoludur; a ve b değişkenlerden, sabitlerden veya her ikisinden de oluşabilir. Binomu genişletmek için, genleşmedeki ilk terim, n'nin 0 ve 0 kez a ^ n'nin binom katsayısıdır. İkinci terim, n'nin binom katsayısı ve 1 kez a ^ (n-1) b'dir. Her genişlemenin sonraki terimi, binom katsayısındaki en düşük sayıya 1 ekleyerek, a sayısını eksi n olan kuvvete yükselterek ve bu sayının gücüne b yükselterek katsayının en alt sayısına eşit devam ederek hesaplanır. n.
Pascal üçgenindeki her sayı, binom katsayıları formülü kullanılarak hesaplanabilen bir binom katsayısıdır. Üçgen, en üstte 1 ile başlar ve daha düşük bir sıradaki her sayı, üstündeki iki girişin çapraz olarak eklenmesiyle hesaplanabilir. Pascal üçgeni birçok benzersiz matematiksel özelliğe sahiptir - binom katsayılarına ek olarak, aynı zamanda Fibonacci sayıları ve figur sayıları da içerir.
