Neredeyse tüm matematiksel nesneler birçok yolla ifade edilebilir. Örneğin, 2/6 fraksiyonu 5/15 ve -4 / -12'ye eşittir. Bir kanonik form, matematikçilerin verilen bir sınıftaki nesneleri kodlanmış, benzersiz bir şekilde tanımlamak için kullandıkları belirli bir şemadır. Sınıftaki her nesne, kanonik form şablonuyla eşleşen tek bir kanonik gösterime sahiptir.
Rasyonel sayılar için, kanonik biçim a / b'dir , burada a ve b'nin ortak faktörleri yoktur ve b pozitifdir. Böyle bir fraksiyon tipik olarak “en düşük terimlerle” tanımlanır. Kanonik forma sokulduğunda, 2/6 1/3 olur. İki kesir değer bakımından eşitse, kanonik gösterimleri aynıdır.
Kanonik formlar her zaman matematiksel bir nesneyi belirtmenin en yaygın yolu değildir. İki boyutlu doğrusal denklemler, Ax + By + C = 0 kanonik şekline sahiptir, burada C , 1 veya 0'dır. Ancak matematikçiler, temel hesaplamalar yaparken, eğim-kesişme formunu sık sık kullanırlar - y = mx + b . Eğim-kesişme biçimi kanonik değildir; x = 4 çizgisini tanımlamak için kullanılamaz.
Matematikçiler, kanonik formları özellikle, iki nesnenin belirgin şekilde farklı görünebileceği ancak matematiksel olarak eşdeğer olduğu soyut sistemleri analiz ederken yararlı bulmaktadır. Bir donuttaki tüm kapalı yolların kümesi, tüm sıralanan tamsayı çiftlerinin ( a , b ) dizileri ile aynı matematiksel yapıya sahiptir. Bir matematikçi, her iki kümeyi tanımlamak için kanonik formlar kullanıyorsa bu bağlantıyı kolayca görebilir. İki set aynı kanonik gösterime sahiptir, bu yüzden eşdeğerdirler. Bir çörek üzerindeki eğriler hakkında topolojik bir soruyu cevaplamak için, bir matematikçi, sıralı tamsayı çiftleri hakkında eşdeğer, cebirsel bir soruyu cevaplamayı daha kolay bulabilir.
Birçok çalışma alanı, sistemleri tanımlamak için matrisler kullanır. Bir matris bireysel girişleriyle tanımlanır, ancak bu girişler genellikle matrisin karakterini iletmez. Kanonik formlar, matematikçilerin iki matrisin başka bir şekilde açık olmayan bir şekilde ilişkili olduğunu bilmesine yardımcı olur.
Mantıkçıların önermeleri tanımlarken kullandığı yapı olan Boole cebirleri iki kanonik biçime sahiptir: konjunktif normal form ve konjonktif normal form. Bunlar sırasıyla polinomların faktoringi veya genişlemesiyle cebirsel olarak eşdeğerdir. Kısa bir örnek bu bağlantıyı gösterir.
Bir lise müdürü, “Futbol takımı ilk iki maçından birini kazanmalı ve rakiplerimizi, Hornets'i üçüncü maçında yenmeli, yoksa koçu kovulacaktır” diyebilir. Bu iddia mantıklı bir şekilde yazılabilir. ( w 1 + w 2 ) * H + F , burada “+” mantıksal “veya” işlemi ve “*” mantıksal “ve” işlemidir. Bu ifade için ayırıcı normal form w 1 * H + w 2 * H + F'dir . Bunun için konjonktif normal formu ( w 1 + w 2 + F ) * ( H + F ). Bu ifadelerin her üçü de aynı şartlar altında geçerlidir, bu nedenle mantıksal olarak eşdeğerdir.
Mühendisler ve fizikçiler, fiziksel sistemler göz önüne alındığında kanonik formlardan da yararlanırlar. Bazen hiçbir şey görünmese de, bir sistem matematiksel olarak diğerine benzer olacaktır. Birini modellemek için kullanılan diferansiyel matris denklemleri, diğerini modellemek için kullanılanlarla aynı olabilir. Bu benzerlikler, sistemler gözlemlenebilir kanonik form veya kontrol edilebilir kanonik form gibi kanonik bir formda dökülürken ortaya çıkar.
