Bir kod seti, bir matematik grubunun belirli bir alt grubudur. Örneğin, bir 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...} bütün integral katları kümesini 7 Z olarak gösterilebilir. Her sayıya 3 eklenmesi, matematikçilerin 7 Z + 3 olarak tanımladığı {... -11, -4, 3, 10, 17 ...} kümesini oluşturur. Bu ikinci küme, 3 tarafından üretilen 7 Z'nin kodu olarak adlandırılır. .
7 Z'nin iki önemli özelliği vardır. Bir sayı 7'nin katı ise, katsayısı terstir. 7'nin katkı maddesi ters -7, 14'ün katkı maddesi ters -14'tür, vb. Ayrıca, 7'nin bir katının 7'nin bir katına eklenmesi, 7'nin bir katıdır.
Bu iki karakteristik özellik, 7Z'nin ilave edilen tamsayıların alt grubu olarak adlandırılmasının nedenidir. Sadece alt grupların coset var. {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...} tüm küp sayılar kümesi, 7 Z ile aynı şekilde cosets içermez, çünkü ekleme altında kapatılmaz : 1 + 8 = 9 ve 9 kübik bir sayı değil. Benzer şekilde, {2, 4, 6, ...} pozitif sayılar kümesinin tümü, tersine sahip olmadığından coset içermez.
Bu şartların sebebi, her sayının tam olarak bir kod içinde olması gerektiğidir. {2, 4, 6, ...} durumunda, 6, 4 tarafından oluşturulan kodezde ve 2 tarafından üretilen kodettedir, ancak bu iki coset aynı değildir. Bu iki kriter, her bir öğenin tam olarak bir kod dizisi içinde olmasını sağlamak için yeterlidir.
Cosets herhangi bir grupta var ve bazı gruplar tamsayılardan çok daha karmaşık. İnsanın düşünebileceği faydalı bir grup, kapsadığı bölgeyi değiştirmeden bir kareyi hareket ettirmenin tüm yollarının kümesidir. Bir kare 90 derece döndürülürse, şekilde belirgin bir değişiklik olmaz. Benzer şekilde, karenin kapladığı bölgeyi değiştirmeden dikey, yatay veya her iki köşeden çapraz olarak döndürülebilir. Matematikçiler bu gruba D 4 diyor .
D4 sekiz elemente sahiptir. Tüm köşeleri aynı yerde bırakırlarsa, iki eleman aynı sayılır, bu nedenle kareyi saat yönünde dört kez döndürmek hiçbir şey yapmamakla aynı kabul edilir Bunu akılda tutarak, sekiz element e, r, r2, r3, v, h, dd ve dd olarak adlandırılabilir . “ E ” hiçbir şey yapmamayı ifade eder ve “ r 2 ” iki dönüş yapmayı belirtir. Son dört elementin her biri kareyi çevirmeyi ifade eder: dikey, yatay veya yukarı veya aşağı doğru eğimli diyagonal boyunca.
Tamsayılar bir Abelian grubudur, yani işletmesi değişmeli kanunları yerine getirir: 3 + 2 = 2 + 3. D4 Abelian değildir. Bir kareyi döndürmek ve sonra yatay olarak çevirmek, köşeleri çevirmek ve döndürmekle aynı şekilde hareket ettirmez.
Değişken olmayan gruplarda çalışırken, matematikçiler işlemi tanımlamak için tipik olarak a * kullanırlar. Küçük bir çalışma, kareyi döndürmek ve sonra yatay olarak çevirmek, r * h , aşağıdan çaprazlamasına çevirmekle aynı olduğunu göstermektedir. Böylece r * h = dd . Kareyi çevirmek ve sonra döndürmek, yukarı çaprazlama boyunca döndürmekle eşdeğerdir, yani r * h = du .
D 4'te sipariş hususları, bu nedenle kosetler tanımlanırken daha kesin olunması gerekir. Tamsayılarda çalışırken, “3 tarafından oluşturulan 7 Z'nin bir kümesi” ifadesi açık değildir çünkü 7'nin her birinin soluna veya sağına 3 eklenip eklenmesi önemli değildir. Ancak, D4'ün bir alt grubu için farklı siparişler farklı ürünler yaratacaktır. Daha önce tarif edilen hesaplamalara dayanarak, r * H , r'nin yarattığı sol H dizgisi, { r, dd } eşittir fakat H * r, eşittir ( r, d u }. Sağ cosets ile sol cosets karşılaştırılırken uygulanmaz.
H'nin sağ kozmetikleri, sol kozmetikleriyle eşleşmiyor. D 4'ün tüm alt grupları bu özelliği paylaşmaz. Biri karenin tüm dönüşlerinin R alt grubunu düşünebilir, R = { e, r, r2, r3 }.
Küçük bir hesaplama, sol kozmetrelerinin sağ kozmetre ile aynı olduğunu göstermektedir. Böyle bir alt gruba normal bir alt grup denir. Normal alt gruplar soyut cebirde son derece önemlidir, çünkü daima ekstra bilgileri kodlarlar. Örneğin, iki olası R öğesi, “kare çevrilmiş” ve “kare çevrilmemiş” iki olası duruma eşittir.
