Mersenne Prime Numarası Nedir?

Bir Mersenne asal sayı, iki gücünden daha düşük bir asal sayıdır. Bugüne kadar yaklaşık 44 tane keşfedilmiştir. Uzun yıllar boyunca 2 ⁿ - 1 formundaki tüm sayıların asal olduğu düşünülüyordu. Ancak 16. yüzyılda, Hudalricus Regius, 23 ve 89 faktörleriyle birlikte 2 ¹¹ - 1'in 2047 olduğunu gösterdi. Önümüzdeki birkaç yıl içinde birtakım başka örneklerde gösterildi. 17. yüzyılın ortalarında, bir Fransız keşiş, Marin Mersenne, Cogitata Physica-Mathematica adlı bir kitap yayınladı. Bu kitapta 2 ⁿ - 1'in 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 ve 257 n değeri için asal olduğunu belirtti.

O zamanlar, daha yüksek sayıların herhangi birinin gerçeğini test etmesinin mümkün olmadığı açıktı. Aynı zamanda, akranları da iddiasını kanıtlayamadı veya ispatlayamadı. Aslında, bir asır öncesine kadar değildi, Euler Mersenne listesindeki kanıtlanmamış ilk sayının 2 ³¹ - 1'in asal olduğunu gösteremedi. Bir yüzyıl sonra, 19. yüzyılın ortalarında, 2 ¹²⁷ - 1'in de asal olduğu gösterilmiştir. Bundan kısa bir süre sonra 2 ⁶¹ - 1'in de birinci sınıf olduğu ve Mersenne'in listesinde en az bir sayıyı kaçırdığını gösterdiği ortaya çıktı. 20. yüzyılın başlarında, kaçırdığı iki sayı daha eklendi, 2 ⁸⁹ - 1 ve 2 ¹⁰⁷ - 1. Sayıların asal olup olmadığını ve daha kolay olup olmadığını kontrol eden bilgisayarların ortaya çıkması ve 1947'de Mersenne'in tüm serisinin Orijinal Mersenne asal sayıları kontrol edildi. Son liste, listesine 61, 89 ve 107'yi ekledi ve 257'nin asal olmadığı ortaya çıktı.

Bununla birlikte, daha sonraki matematikçilerin çalışabileceği bir zemin çalışması oluşturma konusundaki önemli çalışması için, bu sayı grubuna adı verildi. Aslında 2 ⁿ - 1 sayısı asal olduğunda, Mersenne asal sayılarından biri olduğu söylenir.

Bir Mersenne asal sayısının, mükemmel sayılar olarak bilinenlerle de bir ilişkisi vardır. Mükemmel sayılar binlerce yıldır sayılara dayalı tasavvufta önemli bir yere sahiptir. Mükemmel bir sayı, kendisi hariç, bölenlerin toplamına eşit olan bir sayıdır. Örneğin, 6 sayısı mükemmel bir sayıdır, çünkü 1, 2 ve 3 bölücülere sahiptir ve 1 + 2 + 3 de 6'ya eşittir. Bir sonraki mükemmel sayı 28, bölücüler 1, 2, 4'tür. , 7, ve 14. Bir sonraki, 496'ya atlar ve bir sonraki, 8128'dir. Her mükemmel sayı, 2 ^n-1'in bir Mersenne asal numarası olduğu 2 ^{n -1} (2 ⁿ - 1) formuna sahiptir. Bu, yeni bir Mersenne asal sayı bulmakta, aynı zamanda yeni mükemmel sayılar bulmaya odaklandığımız anlamına gelir.

Bu tür pek çok sayı gibi, yeni bir Mersenne asal sayı bulmak ilerledikçe zorlaşır, çünkü sayılar oldukça karmaşıklaşır ve kontrol edilmesi için daha fazla hesaplama gücü gerektirir. Örneğin, 89. onuncu Mersenne asal sayısı bir ev bilgisayarında hızlı bir şekilde kontrol edilebilirken, yirminci 4423 ev bilgisayarını vergilendirir ve otuzuncu, 132049 büyük miktarda hesaplama gücü gerektirir. Kırk beşinci Mersenne asal sayısı olan 20996011, altı milyondan fazla bireysel rakam içeriyor.

Yeni bir Mersenne asal sayısının aranması devam ediyor, çünkü bir takım varsayım ve problemlerde önemli bir rol oynuyorlar. Belki de en eski ve en ilginç soru tek bir mükemmel sayı olup olmadığıdır. Eğer böyle bir şey varsa, en az sekiz asal sayı ile bölünebilir olmalı ve en az yetmiş beş asal faktöre sahip olacaktır. Asal bölenlerinden biri 10 ^20'den büyük olacaktı, bu yüzden gerçek bir anıtsal sayı olacaktı. Bununla birlikte, bilgisayar gücü artmaya devam ettikçe, her yeni Mersenne asal sayısı biraz daha az zorlaşacak ve belki de bu antik sorunlar sonunda çözülecek.