Küme Teorisi Nedir?

Set teorisi modern matematiğin temelini oluşturur ve 1800'lerin sonlarında resmileştirilir. Set teorisi, “elementler” veya “üyeler” olarak adlandırılan şeylerin gruplara nasıl uyduğuyla ilgili çok temel ve sezgisel fikirleri açıklar. Fikirlerin belirgin sadeliğine rağmen, set teorisi oldukça titiz. Teorilerindeki bütün keyfilikleri ortadan kaldırmak için matematikçiler yıllar içinde etkileyici bir dereceye kadar ince ayarlı teori geliştirmişlerdir.

Küme teorisinde küme , iyi tanımlanmış herhangi bir eleman veya üye grubudur. Kümeler genellikle A veya B gibi italik harflerle sembolize edilir. İki küme aynı üyeler içeriyorsa, eşittir işareti ile eşdeğer olarak gösterilebilir.

Bir kümenin içeriği basit İngilizce olarak tanımlanabilir: A = tüm kara memelileri. İçindekiler ayrıca parantez içinde listelenebilir: A = {ayılar, inekler, domuzlar, vb.}} Büyük kümeler için, kümenin deseninin belirgin olduğu elipsler kullanılabilir. Örneğin, A = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. Bir set türünde, boş küme olarak bilinen küme sıfır üyeye sahiptir. Soldan sağa doğru yükselen çapraz bir çizgi ile sıfır ile sembolize edilir. Her ne kadar önemsiz görünse de, matematiksel olarak oldukça önemli olduğu ortaya çıkıyor.

Bazı kümeler başka kümeler içerir, bu nedenle süpersetler etiketlenir. İçerilen kümeler altkümelerdir . Küme teorisinde, bu ilişki, U harfinin sağa 90 derece döndüğü gibi görünen notasyon ile sembolize edilen "dahil etme" veya "çevreleme" olarak adlandırılır. Grafiksel olarak, bu başka, daha büyük bir dairenin içinde bulunan bir daire olarak gösterilebilir.

Küme teorisindeki bazı ortak kümeler arasında N, tüm doğal sayıların kümesini; Z, tüm tam sayıların kümesi; Q, tüm rasyonel sayılar kümesi; R, tüm gerçek sayılar kümesi; ve C, tüm karmaşık sayılar kümesidir.

İki küme çakıştığında ancak hiçbiri diğerinin içine tamamen gömülmediğinde, her şeye kümeler birliği denir. Bu, U harfine benzer bir sembolle temsil edilir, ancak biraz daha geniştir. Set notasyonunda, A U B " A veya B'ye üye olan elementler kümesi" anlamına gelir. Bu sembolü ters çevirin ve her iki kümenin üyesi olan tüm öğeleri ifade eden A ve B'nin kesişimini elde edin. Küme teorisinde kümeler birbirlerinden “çıkarılabilir”, böylece tamamlayıcılar ortaya çıkar. Örneğin, B - A , B üyesi olan ancak A üyesi olmayan öğelere eşdeğerdir.

Yukarıdaki temellerden, matematiğin çoğu türetilmiştir. Neredeyse tüm matematiksel sistemler, temel olarak set teorisi olarak tanımlanabilen özellikler içerir.