Kronecker Deltası Nedir?
Roni , j olarak adlandırılan Kronecker delta işlevi, eğer i ve j'nin eşit olması ve aksi takdirde 0'a eşit olması durumunda 1'e eşit olan bir ikili fonksiyondur. Her ne kadar teknik olarak iki değişkenli bir fonksiyon olsa da, pratikte karmaşık matematiksel ifadelerin kompakt bir şekilde yazılmasına izin verecek şekilde gösterimsel kısa yol olarak kullanılır. Doğrusal cebir, tensör analizi ve dijital sinyal işleme alanında çalışan matematikçiler, fizikçiler ve mühendisler, Kronecker delta işlevini, başka türlü birkaç satır metin alabilecek tek bir denklemde iletmek için uygun bir yöntem olarak kullanırlar.
Bu işlev en sık olarak, karmaşık toplamlara atıfta bulunmak için özlü bir yöntem olan sigma gösterimini içeren denklemlerin yazılmasını basitleştirmek için kullanılır. Örneğin, bir şirketin 30 çalışanı varsa { e 1 , e 2 ... e 30 } ve her çalışanın farklı saatlerde { h 1 , h 2 ... h 30 } farklı saatlerde çalışması 1 , r 2 ... r 30 }, bu çalışanlara çalışmaları için ödedikleri toplam para e * 1 saat * 1 2 + 2 2 * 2 2 * 2 2 * e 3 * saat 3 * 3 * 3'e eşittir . .. e 30 * s 30 * r30 . Matematikçiler bunu tam olarak yazabildikleri gibi yazabilirler * h i * r i .
Birden fazla boyut içeren fiziksel sistemleri tarif ederken, fizikçiler sıklıkla çift toplamları kullanmalıdır. Pratik bilimsel uygulamalar çok karmaşıktır, ancak somut bir örnek Kronecker delta fonksiyonunun bu durumlarda ifadeleri nasıl basitleştirdiğini göstermektedir.
Bir alışveriş merkezinde her biri farklı bir marka satan üç tane giyim mağazası var. Toplam 20 stil forma mevcuttur: sekizi 1 mağazada, yediini mağazada 2 ve beşini mağazasında teklif etti. On iki pantolon stilini alabilirsiniz: mağazada beş, mağazada üç, mağazada 3 ve dördüncü mağazada. Biri 240 olası kıyafet satın alabilir çünkü gömlek için 20, pantolon için 12 seçenek var. Her kombinasyon farklı bir kıyafet sağlar.
Gömlek ve pantolonun farklı mağazalardan olduğu bir kıyafet seçmenin yolunu hesaplamak o kadar basit değil. Mağaza 1'den bir gömlek ve mağaza 2'den 8 * 3 yolla pantolon alabilirsiniz. Mağaza 1'den bir gömlek ve mağaza 3'den pantolon seçmek için 8 * 4 yol vardır. Bu şekilde devam ederek, farklı mağazalardan eşya kullanan toplam kıyafet sayısını 8 * 3 + 8 * 4 + 7 * 5 + 7 olarak bulur. * 4 + 5 * 5 + 5 * 3 = 199.
Biri gömleklerin ve pantolonların mevcudiyetini iki dizi olarak düşünebilir, { s 1 , s 2 , s 3 } = {8, 7, 5} ve { p 1 , p 2 , p 3 } = {5, 3, 4} . Sonra Kronecker delta işlevi bu toplamın basitçe ∑ i ∑ j s i * p j * (1- δ i, j ) şeklinde yazılmasına izin verir. (1- δ i, j ) terimi, aynı mağazadan satın alınan bir gömlek ve pantolondan oluşan kıyafetleri ortadan kaldırır, çünkü bu durumda i = j , yani δ i, j = 1 ve (1- , i, j ) = 0 olur. Terimin 0 ile çarpılması, toplamdan kaldırır.
Kronecker delta fonksiyonu, çok boyutlu uzayları analiz ederken en sık kullanılır, fakat aynı zamanda gerçek sayı çizgisi gibi tek boyutlu uzayları incelerken de kullanılabilir. Bu durumda, tek girişli bir değişken genellikle kullanılır: δ ( n ) = 1, n = 0; δ ( n ) = 0 aksi halde. Kronecker delta fonksiyonunun gerçek sayılarla ilgili karmaşık matematiksel ifadeleri basitleştirmek için nasıl kullanılabileceğini görmek için, girdileri basitleştirilmiş kesirler olan aşağıdaki iki işlev göz önünde bulundurulabilir:
f (a / b) = a, eğer a = b + 1, f (a / b) = -b ise b = a +1 ve f (a / b) = 0 ise.
g (a / b) = a * δ ( a - b -1) - b * δ ( a - b + 1)
F ve g işlevleri aynıdır, ancak g'nin tanımı daha küçüktür ve İngilizce gerektirmez, bu yüzden dünyadaki herhangi bir matematikçi tarafından anlaşılabilir.
Bu örneklerle gösterildiği gibi, Kronecker delta fonksiyonunun girişleri tipik olarak bazı değerler dizisine bağlı tam sayılardır. Dirac delta dağılımı, toplama dizileri yerine işlevleri bütünleştirirken kullanılan Kronecker delta işlevinin sürekli bir analogudur.