Was ist quadratische Programmierung?

quadratische Programmierung ist eine Methode, mit der eine multivariable quadratische Funktion optimiert wird, die möglicherweise linear eingeschränkt ist oder nicht. Viele Probleme mit der realen Welt, wie das Optimieren des Portfolios eines Unternehmens oder die Reduzierung der Kosten eines Herstellers, können mit einem quadratischen Programm beschrieben werden. Wenn die objektive Funktion konvex ist, kann eine praktikable Lösung vorhanden sein und durch bekannte Algorithmen wie den erweiterten Simplex -Algorithmus gelöst werden. Methoden zur Lösung einiger nicht konvexer quadratischer Funktionen, sind jedoch kompliziert und nicht ohne weiteres verfügbar. In der quadratischen Programmierung werden

mathematische Optimierungstechniken verwendet, um eine objektive Funktion zu minimieren. Die objektive Funktion besteht aus einer Reihe von Entscheidungsvariablen, die möglicherweise begrenzt werden können oder nicht. Die Entscheidungsvariablen haben die Befugnisse von 0, 1 oder 2. Die objektive Funktion kann einer Reihe von linearen Gleichstellung und Ungleichheitspflichten in Bezug auf die Entscheidungsvariablen unterzogen werden. Ein Beispiel für die quadratische Programmierung ist:Minimieren Sie f (x, y) = x ² + 3y ² - 12y + 12 wobei x + y = 6 und x> 0 und y ≥ 0.

Es ist oft interessant, multivariate quadratische Funktionen zu verwenden, um Probleme mit der realen Welt zu beschreiben. Beispielsweise wird ein Finanzanalyst unter Verwendung der modernen Portfolio -Theorie versuchen, das Portfolio eines Unternehmens zu optimieren, indem er den Anteil der Vermögenswerte auswählt, die das mit einer bestimmten erwartete Rendite verbundene Risiko minimieren. Eine quadratische Gleichung aus Vermögensgewichten und die Korrelation zwischen den Vermögenswerten beschreibt die Portfoliokarianz, die mithilfe der quadratischen Programmierung minimiert werden kann. Ein weiteres Beispiel könnte ein Hersteller sein, der eine quadratische Gleichung verwendet, um die Beziehung zwischen verschiedenen Qualitätskomponenten und den Kosten eines Produkts zu beschreiben. Der Hersteller kann die Kosten minimieren und gleichzeitig bestimmte Standards aufrechterhalten, indem sie dem quadratischen Programm lineare Einschränkungen hinzufügen.

Einer der wichtigsten BedingungenNS bei der Lösung eines quadratischen Programms ist die Konvexität der objektiven Gleichung. Die Konvexität einer quadratischen Funktion wird durch die Hessische oder die Matrix seiner zweiten Derivate bestimmt. Die Funktion wird als konvex bezeichnet, wenn die hessische Matrix entweder positiv eindeutig oder ein positives Semi-Definit ist. Wenn alle Eigenwerte positiv bzw. nicht negativ sind. Wenn die Hessische positiv ist und eine praktikable Lösung besteht, ist dieses lokale Minimum einzigartig und ein globales Minimum. Wenn der Hessische halb positiv ist, ist eine praktikable Lösung möglicherweise nicht einzigartig. Nicht konvexe quadratische Funktionen können lokale oder globale Mindestfunktionen haben, sind jedoch schwieriger zu bestimmen.

Es gibt viele Ansätze zur Lösung einer konvexen quadratischen Funktion unter Verwendung der quadratischen Programmierung. Der häufigste Ansatz ist eine Erweiterung des Simplex -Algorithmus. Einige andere Methoden umfassen die Innenpunkt- oder Barrieremethode, die aktive Menge und die konjugierte Gradientenmethode. Diese Methoden sind in CER integriertTain -Programme wie Mathematica® und MATLAB® und sie sind in Bibliotheken für viele Programmiersprachen erhältlich.