¿Qué es la distribución hipergeométrica?

La distribución hipergeométrica describe la probabilidad de ciertos eventos cuando se extrae una secuencia de elementos de un conjunto fijo, como elegir jugar a las cartas de un mazo. La característica clave de los eventos que siguen la distribución de probabilidad hipergeométrica es que los elementos no se reemplazan entre sorteos. Después de que se haya elegido un objeto en particular, no se puede elegir nuevamente. Esta característica es más significativa cuando se trabaja con pequeñas poblaciones.

Los auditores de evaluación de calidad usan la distribución hipergeométrica al analizar el número de productos defectuosos en un grupo determinado. Los productos se dejan de lado después de ser probados porque no hay razón para probar el mismo producto dos veces. Por lo tanto, la selección se realiza sin reemplazo.

Las probabilidades de póker se calculan utilizando la distribución hipergeométrica porque las cartas no se arrastran nuevamente en la cubierta dentro de una mano dada. Inicialmente, por ejemplo, un cuarto de las cartas en un mazo estándar son las espadas, pero la probabilidad de recibir dosLas tarjetas y encontrar las dos espadas no son 1/4 * 1/4 = 1/16. Después de recibir la primera pala, quedan menos espadas en la cubierta, por lo que la probabilidad de recibir otra pala es solo 12/51. Por lo tanto, la probabilidad de recibir dos cartas y encontrarlas para que ambas sean espadas es 1/4 * 12/51 = 1/17.

Los objetos

no se reemplazan entre sorteos, por lo que la probabilidad de escenarios extremos se reduce para una distribución hipergeométrica. Uno puede comparar ser tratado con cartas rojas o negras de un mazo estándar con voltear una moneda. Una moneda justa aterrizará en "cabezas" la mitad del tiempo, y la mitad de las cartas en un mazo estándar son negros. Sin embargo, la probabilidad de obtener cinco cabezas consecutivas al voltear una moneda es mayor que la probabilidad de recibir una mano de cinco tarjetas y encontrarlas como tarjetas negras. La probabilidad de cinco cabezas consecutivas es 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/32, o alrededor del 3 por ciento, yLa probabilidad de cinco tarjetas negras es 26/52 * 25/51 * 24/50 * 23/49 * 22/48 = 253/9996, o alrededor del 2.5 por ciento.

El muestreo sin reemplazo reduce la probabilidad de casos extremos, pero no afecta la media aritmética de la distribución. El número promedio de cabezas se espera cuando uno voltea una moneda cinco veces es 2.5, y esto es igual al número promedio de tarjetas negras esperadas en una mano de cinco cartas. Así como es muy poco probable que las cinco cartas sean negras, también es poco probable que ninguna de ellas lo sea. Esto se describe en lenguaje matemático diciendo que el reemplazo reduce la varianza sin afectar el valor esperado de una distribución.