Vad är hypergeometrisk distribution?

Hypergeometrisk fördelning beskriver sannolikheten för vissa händelser när en sekvens av objekt dras från en fast uppsättning, till exempel att välja spelkort från ett däck. Det viktigaste kännetecknet för händelser efter den hypergeometriska sannolikhetsfördelningen är att objekten inte ersätts mellan dragningar. När ett visst objekt har valts kan det inte väljas igen. Den här funktionen är viktigast när man arbetar med små populationer.

Kvalitetsbedömningsrevisorer använder den hypergeometriska fördelningen vid analys av antalet defekta produkter i en viss grupp. Produkter avsätts efter testning eftersom det inte finns någon anledning att testa samma produkt två gånger. Således görs valet utan ersättning.

Pokersannolikheter beräknas med hjälp av den hypergeometriska fördelningen eftersom korten inte blandas tillbaka i däcket inom en given hand. Ursprungligen är till exempel en fjärdedel av korten i ett standarddäck spader, men sannolikheten för att få två kort och hitta båda som spader är inte 1/4 * 1/4 = 1/16. Efter att ha fått den första spaden finns det färre spader kvar i däcket, så sannolikheten för att få en annan spade är bara 12/51. Därför är sannolikheten för att få två kort och hitta båda som spader 1/4 * 12/51 = 1/17.

Objekt ersätts inte mellan dragningar, så sannolikheten för extrema scenarier minskar för en hypergeometrisk fördelning. Man kan jämföra att få röda eller svarta kort från ett standarddäck till att vända ett mynt. Ett rättvist mynt kommer att landa på "huvuden" halva tiden och halva korten i ett standarddäck är svarta. Ändå är sannolikheten för att få fem på varandra följande huvuden när man vänder ett mynt större än sannolikheten för att få en femkortshand och hitta dem alla som svarta kort. Sannolikheten för fem huvud i följd är 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/32, eller cirka 3 procent, och sannolikheten för fem svarta kort är 26/52 * 25 / 51 * 24/50 * 23/49 * 22/48 = 253/9996, eller cirka 2,5 procent.

Provtagning utan ersättning minskar sannolikheten för extrema fall, men det påverkar inte det aritmetiska medelvärdet för distributionen. Det genomsnittliga antalet huvud som förväntas när man vänder ett mynt fem gånger är 2,5, och det är lika med det genomsnittliga antalet svarta kort som förväntas i en femkortshand. Precis som det är mycket osannolikt att alla fem kort är svarta, är det också osannolikt att ingen av dem är det. Detta beskrivs på det matematiska språket genom att säga att ersättning sänker variationen utan att påverka förväntat värde på en distribution.