高幾何学的分布とは何ですか？

高幾何分布は、デッキからのトランプの選択など、固定セットから一連のアイテムが描かれた場合の特定のイベントの確率を説明します。高幾何学的確率分布に続くイベントの重要な特徴は、アイテムがドロー間に置き換えられないことです。特定のオブジェクトが選択された後、再び選択することはできません。この機能は、小さな集団を扱う場合に最も重要です。

品質評価監査人は、特定のグループの欠陥製品の数を分析する際に高幾何学的分布を使用します。同じ製品を2回テストする理由がないため、テストされた後、製品は脇に置かれます。したがって、選択は交換せずに行われます。

ポーカー確率は、特定の手以内のデッキにカードがシャッフルされないため、高幾何分布を使用して計算されます。当初、たとえば、標準デッキのカードの4分の1はスペードですが、2つを扱う可能性がありますカードとそれらの両方を見つけることは、1/4 * 1/4 = 1/16ではありません。最初のスペードを受け取った後、デッキに残っているスペードが少ないため、別のスペードを配られる可能性は12/51です。したがって、2枚のカードを配られて両方のカードを見つける可能性は1/4 * 12/51 = 1/17です。

オブジェクトはドロー間に置き換えられないため、高幾何分布のために極端なシナリオの確率が低下します。標準的なデッキから赤または黒のカードを配置してコインをひっくり返すことを比較できます。フェアコインは半分の時間の「ヘッド」に着地し、標準デッキのカードの半分は黒です。しかし、コインをひっくり返すときに5つの連続した頭を手に入れる可能性は、5枚のカードの手を扱って、すべてが黒いカードであると見つける可能性よりも大きいです。 5つの連続した頭の確率は1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/32、または約3パーセントです。5枚の黒いカードの可能性は26/52 * 25/51 * 24/50 * 23/49 * 22/48 = 253/9996、または約2.5％です。

交換せずにサンプリングは極端なケースの可能性を減らしますが、分布の算術平均には影響しません。コインを5回反転させると予想されるヘッドの平均数は2.5であり、これは5カードの手で予想されるブラックカードの平均数に等しくなります。 5枚すべてのカードが黒である可能性は非常に低いように、どれもそれらのどれもそうではない可能性は低いです。これは、置換が分布の期待値に影響を与えることなく分散を低下させると言うことにより、数学的言語で説明されています。