Wat is hypergeometrische distributie?
Hypergeometrische verdeling beschrijft de waarschijnlijkheid van bepaalde gebeurtenissen wanneer een reeks items uit een vaste set wordt getrokken, zoals het kiezen van speelkaarten uit een kaartspel. Het belangrijkste kenmerk van gebeurtenissen na de hypergeometrische waarschijnlijkheidsverdeling is dat de items niet worden vervangen tussen gelijkspel. Nadat een bepaald object is gekozen, kan het niet opnieuw worden gekozen. Deze functie is het belangrijkst bij het werken met kleine populaties.
Kwaliteitsbeoordeling auditors gebruiken de hypergeometrische verdeling bij het analyseren van het aantal defecte producten in een bepaalde groep. Producten worden opzij gezet nadat ze zijn getest, omdat er geen reden is om hetzelfde product twee keer te testen. De selectie gebeurt dus zonder vervanging.
Pokerkansen worden berekend met behulp van de hypergeometrische verdeling omdat kaarten niet terug in het spel worden geschud binnen een bepaalde hand. Aanvankelijk zijn bijvoorbeeld een vierde van de kaarten in een standaardspel schoppen, maar de kans dat twee kaarten worden gedeeld en beide schoppen worden gevonden, is niet 1/4 * 1/4 = 1/16. Na het ontvangen van de eerste schoppen, zijn er minder schoppen over in het spel, dus de kans om nog een schoppen te krijgen is slechts 12/51. Vandaar dat de kans om twee kaarten te krijgen en ze beide als schoppen te vinden 1/4 * 12/51 = 1/17 is.
Objecten worden niet vervangen tussen trekkingen, dus de kans op extreme scenario's wordt verkleind voor een hypergeometrische verdeling. Je kunt het vergelijken van rode of zwarte kaarten van een standaard kaartspel vergelijken met het omdraaien van een munt. De helft van de tijd belandt een eerlijke munt op "hoofden" en de helft van de kaarten in een standaard kaartspel zijn zwart. Toch is de kans om vijf opeenvolgende heads te krijgen bij het omdraaien van een munt groter dan de kans dat je een hand met vijf kaarten krijgt en ze allemaal zwarte kaarten vindt. De kans op vijf opeenvolgende koppen is 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/32, of ongeveer 3 procent, en de kans op vijf zwarte kaarten is 26/52 * 25 / 51 * 24/50 * 23/49 * 22/48 = 253/9996, of ongeveer 2,5 procent.
Bemonstering zonder vervanging vermindert de kans op extreme gevallen, maar heeft geen invloed op het rekenkundig gemiddelde van de verdeling. Het gemiddelde aantal verwachte koppen wanneer men vijf keer een munt omdraait, is 2,5, en dit is gelijk aan het gemiddelde aantal zwarte kaarten dat wordt verwacht in een hand met vijf kaarten. Net zoals het zeer onwaarschijnlijk is dat alle vijf de kaarten zwart zijn, is het ook onwaarschijnlijk dat geen enkele kaart hetzelfde is. Dit wordt in wiskundige taal beschreven door te zeggen dat vervanging de variantie verlaagt zonder de verwachte waarde van een verdeling te beïnvloeden.