Was ist hypergeometrische Verteilung?
Die hypergeometrische Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse, wenn eine Reihe von Gegenständen aus einem festen Satz gezogen wird, z. B. die Auswahl von Spielkarten aus einem Stapel. Das Hauptmerkmal von Ereignissen nach der hypergeometrischen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, dass die Elemente zwischen den Ziehungen nicht ersetzt werden. Nachdem ein bestimmtes Objekt ausgewählt wurde, kann es nicht erneut ausgewählt werden. Diese Funktion ist am wichtigsten, wenn Sie mit kleinen Populationen arbeiten.
Qualitätsprüfer verwenden die hypergeometrische Verteilung bei der Analyse der Anzahl fehlerhafter Produkte in einer bestimmten Gruppe. Produkte werden nach dem Testen zurückgestellt, da es keinen Grund gibt, dasselbe Produkt zweimal zu testen. Somit erfolgt die Auswahl ersatzlos.
Die Poker-Wahrscheinlichkeiten werden anhand der hypergeometrischen Verteilung berechnet, da die Karten innerhalb einer bestimmten Hand nicht zurück in das Deck gemischt werden. Anfänglich sind beispielsweise ein Viertel der Karten in einem Standardstapel Pik-Karten, aber die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Karten ausgeteilt werden und beide Pik-Karten sind, beträgt nicht 1/4 * 1/4 = 1/16. Nach Erhalt des ersten Spatens verbleiben weniger Spaten im Stapel, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass ein weiterer Spaten ausgeteilt wird, nur 12/51 beträgt. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Karten ausgeteilt werden und beide Pik-Karten sind, 1/4 * 12/51 = 1/17.
Objekte werden nicht zwischen Zeichnungen ersetzt, sodass die Wahrscheinlichkeit extremer Szenarien für eine hypergeometrische Verteilung verringert wird. Man kann das Austeilen von roten oder schwarzen Karten aus einem Standardstapel mit dem Umwerfen einer Münze vergleichen. Eine schöne Münze landet die Hälfte der Zeit auf „Köpfen“, und die Hälfte der Karten in einem Standardstapel ist schwarz. Die Wahrscheinlichkeit, fünf aufeinanderfolgende Köpfe zu erhalten, wenn eine Münze geworfen wird, ist jedoch größer als die Wahrscheinlichkeit, dass eine Hand mit fünf Karten ausgeteilt wird und alle schwarze Karten sind. Die Wahrscheinlichkeit von fünf aufeinanderfolgenden Köpfen beträgt 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/32 oder ungefähr 3 Prozent, und die Wahrscheinlichkeit von fünf schwarzen Karten beträgt 26/52 * 25 / 51 * 24/50 * 23/49 * 22/48 = 253/9996 oder ungefähr 2,5 Prozent.
Die ersatzlose Abtastung verringert die Wahrscheinlichkeit extremer Fälle, hat jedoch keinen Einfluss auf das arithmetische Mittel der Verteilung. Die durchschnittliche Anzahl der Köpfe, die erwartet werden, wenn eine Münze fünf Mal geworfen wird, beträgt 2,5, und dies entspricht der durchschnittlichen Anzahl der schwarzen Karten, die in einer Fünf-Karten-Hand erwartet werden. Ebenso wenig wie es sehr unwahrscheinlich ist, dass alle fünf Karten schwarz sind, ist es auch unwahrscheinlich, dass keine davon schwarz ist. In mathematischer Sprache wird dies dadurch beschrieben, dass durch Ersetzen die Varianz verringert wird, ohne den erwarteten Wert einer Verteilung zu beeinflussen.