Was ist eine hypergeometrische Verteilung?

hypergeometrische Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse, wenn eine Abfolge von Elementen aus einem festen Satz stammt, z. B. die Auswahl von Karten aus einem Deck. Das Hauptmerkmal von Ereignissen nach der hypergeometrischen Wahrscheinlichkeitsverteilung besteht darin, dass die Elemente nicht zwischen den Ziehen ersetzt werden. Nachdem ein bestimmtes Objekt ausgewählt wurde, kann es nicht erneut ausgewählt werden. Diese Funktion ist am wichtigsten, wenn es mit kleinen Populationen arbeitet. Die Produkte werden nach dem Testen beiseite gelegt, da es keinen Grund gibt, dasselbe Produkt zweimal zu testen. Somit erfolgt die Auswahl ohne Ersatz. Zum Beispiel sind zum Beispiel ein Viertel der Karten in einem Standard-Deck Spaten, aber die Wahrscheinlichkeit, zwei behandelt zu werdenKarten und das Finden von beiden Spaten sind nicht 1/4 * 1/4 = 1/16. Nach dem Erhalt des ersten Spaten gibt es noch weniger Spaten im Deck. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei Karten zu behandeln und beide Spaten zu sein, 1/4 * 12/51 = 1/17.

Objekte werden nicht zwischen den Ziehen ersetzt, daher wird die Wahrscheinlichkeit extremer Szenarien für eine hypergeometrische Verteilung reduziert. Man kann vergleichen, wenn man rote oder schwarze Karten von einem Standarddeck mit dem Umdrehen einer Münze vergleicht. Eine faire Münze landet die halbe Zeit auf „Köpfen“, und die Hälfte der Karten in einem Standarddeck sind schwarz. Die Wahrscheinlichkeit, fünf aufeinanderfolgende Köpfe beim Umdrehen einer Münze zu bekommen, ist jedoch größer als die Wahrscheinlichkeit, dass sie eine fünf Kartenhand gehandelt und sie alle als schwarze Karten finden. Die Wahrscheinlichkeit von fünf aufeinanderfolgenden Köpfen beträgt 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/32 oder etwa 3 Prozent undDie Wahrscheinlichkeit von fünf schwarzen Karten beträgt 26/52 * 25/51 * 24/50 * 23/49 * 22/48 = 253/9996 oder etwa 2,5 Prozent.

Probenahme ohne Ersatz verringert die Wahrscheinlichkeit von extremen Fällen, wirkt sich jedoch nicht auf den arithmetischen Mittelwert der Verteilung aus. Die durchschnittliche Anzahl von Köpfen, die erwartet werden, wenn man eine Münze fünfmal umdreht, beträgt 2,5, und dies entspricht der durchschnittlichen Anzahl der in einer Kartenhand erwarteten schwarzen Karten. So wie es sehr unwahrscheinlich ist, dass alle fünf Karten schwarz sind, ist es auch unwahrscheinlich, dass keiner von ihnen ist. Dies wird in der mathematischen Sprache beschrieben, indem der Ersatz die Varianz verringert, ohne den erwarteten Wert einer Verteilung zu beeinflussen.