Qu'est-ce qu'une bouteille de Klein?
Une bouteille de Klein est un type de surface non orientable, qui est souvent décrite comme une fiole à long goulot avec un goulot plié qui passe en soi pour s’ouvrir. La forme unique d'une bouteille de Klein signifie qu'elle n'a qu'une seule surface: son intérieur est identique à son extérieur. Une bouteille de Klein ne peut pas exister réellement dans un espace euclidien tridimensionnel, mais les représentations en verre soufflé peuvent nous donner un aperçu intéressant. Ce n'est pas une vraie bouteille de Klein, mais cela aide à visualiser ce que le mathématicien allemand Felix Klein a imaginé lorsqu'il a eu l'idée de la bouteille de Klein.
Une bouteille de Klein est décrite comme une surface non orientable, car si un symbole est attaché à la surface, il peut glisser de telle sorte qu'il puisse revenir au même emplacement qu'une image miroir. Si vous attachez un symbole à une surface orientable, comme à l'extérieur d'une sphère, quelle que soit la façon dont vous déplacez le symbole, il conservera la même orientation. La forme spéciale de la bouteille de Klein vous permet de faire glisser le symbole de telle manière qu'il adopte une orientation différente: il peut apparaître sous la forme d'une image miroir sur la même surface. Cette propriété de la bouteille de Klein est ce qui la rend non orientable.
La bouteille de Klein tire son nom du mathématicien allemand Felix Klein. Les travaux de Felix Klein en mathématiques le familiarisèrent beaucoup avec la bande de Möbius. Une bande de Möbius est un morceau de papier légèrement tordu et joint aux extrémités. Cette torsion transforme un morceau de papier ordinaire en une surface non orientable. Felix Klein a expliqué que si vous assembliez deux bandes Möbius le long des bords, vous créeriez un nouveau type de surface avec des propriétés tout aussi étranges: une surface de Klein ou une bouteille de Klein.
Malheureusement pour ceux d'entre nous qui voudraient voir une bouteille de Klein réelle, ils ne peuvent pas être construits dans l'espace tridimensionnel euclidien dans lequel nous vivons. La jonction des bords de deux bandes de Möbius pour construire la bouteille de Klein crée des intersections qui ne peuvent pas être présentes dans le modèle théorique. Un modèle réel de la bouteille de Klein doit se croiser lorsque le goulot de la bouteille traverse le côté. Cela nous donne quelque chose qui n’est pas une vraie bouteille de Klein fonctionnelle, mais qui reste assez intéressant à examiner.
Etant donné que la bouteille de Klein partage beaucoup de ses propriétés étranges avec la bande de Möbius, ceux d'entre nous qui ne maîtrisons pas suffisamment les mathématiques pour bien comprendre la complexité de la bouteille de Klein peuvent expérimenter avec la bande de Möbius pour mieux comprendre la découverte fascinante de Felix Klein. .