Co je to inflexní bod?

Inflexní bod je důležitým konceptem v diferenciálním počtu. V okamžiku inflexe mění křivka funkce její konkávit - jinými slovy se mění z negativního na pozitivní zakřivení nebo naopak. Tento bod lze definovat nebo vizualizovat různými způsoby. V aplikacích v reálném světě, kde je systém modelován pomocí křivky, je nalezení inflexního bodu často kritické při předvídání chování systému. V jakékoli dané funkci produkuje hodnota x nebo hodnota, která je vstupem do rovnice, výstup reprezentovaný hodnotou Y. Při grafu tyto hodnoty tvoří křivku. Konkávní oblast nahoru se objeví na grafu, když se křivka podobná misce otevírá nahoru, zatímco konkávní oblast dolů se otevíráoddělení. Bod, ve kterém se tato konkávita mění, je inflexní bod.

Existuje několik různých metod, které mohou být užitečné při vizualizaci, kde inflexní bod leží na křivce. Pokud by člověk měl umístit bod na křivku s přímkou ​​nataženou skrz ni, která se jen dotkne křivky - tečnou - a spustí tento bod podél křivky, došlo by k inflexnímu bodu v přesném bodě, kde tangenská čára protíná přes křivku.

Matematicky, bodem inflexe je bod, kdy se znak druhého derivátu změní. První derivát funkce měří rychlost změny funkce, jak se její vstup mění, a druhý derivát měří, jak se tato míra samotné změny může měnit. Například rychlost vozu v daném okamžiku je představována prvním derivátem, ale jeho zrychlení - zvyšování nebo snižováníRychlost - je reprezentována druhým derivátem. Pokud se auto zrychlí, je jeho druhý derivát pozitivní, ale v okamžiku, kdy přestane zrychlit a začne zpomalit, jeho zrychlení a druhý derivát se stanou negativním. Toto je bod inflexe.

Pro vizualizaci této grafické vizualizace je důležité si uvědomit, že konkávita křivky funkce je vyjádřena jejím druhým derivátem. Pozitivní druhý derivát označuje konkávní křivku nahoru a negativní druhý derivát ukazuje křivku, která je konkávní dolů. Je obtížné určit přesný bod inflexe na grafu, takže u aplikací, kde je nutné znát jeho přesnou hodnotu, lze inflexní bod vyřešit pro matematicky.

Jednou z metod nalezení inflexního bodu funkce je vzít svůj druhý derivát, nastavit jej rovný nule a vyřešit pro x. Ne každá nulová hodnota v této metodě bude inflexním bodem, takže je nutné testovat hodnoty na obouStrana x = 0, aby se zajistilo, že znak druhého derivátu se ve skutečnosti změní. Pokud ano, hodnota v x je inflexní bod.