Co to jest punkt fleksji?

Punkt fleksji jest ważną koncepcją w rachunku różnicowym. W punkcie przegięcia krzywa funkcji zmienia jej wklęsłość - innymi słowy, zmienia się z negatywnej na krzywiznę dodatnią lub odwrotnie. Ten punkt można zdefiniować lub wizualizować na różne sposoby. W rzeczywistych aplikacjach, w których model jest modelowany za pomocą krzywej, znalezienie punktu fleksji jest często kluczowe w przewidywaniu zachowania systemu.

Funkcje w rachunku rachunkowym można wykreślić na płaszczyźnie składającej się z osi x i y, zwanej płaszczyzną kartezjańską. W dowolnej funkcji wartość x lub wartość, która jest wejściem do równania, wytwarza dane wyjściowe reprezentowane przez wartość y. Po wykresie wartości te tworzą krzywą.

Krzywa może być wklęsła w górę lub wklęsła w dół, w zależności od zachowania funkcji w porównaniu z pewnymi wartościami. Przykładowy region w górę pojawia się na wykresie jako krzywa przypominająca miskę otwierającą się w górę, a region wklęsły w dół otwieraoddziały. Punktem, w którym zmienia się ta wklęsłość, jest punkt fleksji.

Istnieje kilka różnych metod, które mogą być pomocne w wizualizacji, gdzie punkt fleksji leży na krzywej. Gdyby ktoś umieścił punkt na krzywej z wyciągniętą przez nią prostą linią, która po prostu dotyka krzywej - linii stycznej - i biegnie ten punkt wzdłuż krążenia, punkt fleksji nastąpiłby w dokładnie punkcie, w którym linia styczna przecina krzywą.

Matematycznie punkt fleksji jest punkt, w którym podpisują drugi pochodna. Pierwsza pochodna funkcji mierzy szybkość zmiany funkcji jako jej wejściowe zmiany, a druga pochodna mierzy sposób, w jaki może zmieniać się ta szybkość zmiany. Na przykład prędkość samochodu w danym momencie jest reprezentowana przez pierwszą pochodną, ​​ale jego przyspieszenie - rosnące lub zmniejszające sięPrędkość - jest reprezentowana przez drugą pochodną. Jeśli samochód przyspieszy, jego druga pochodna jest dodatnia, ale w punkcie, w którym przestaje przyspieszyć i zaczyna zwalniać, jego przyspieszenie i druga pochodna stają się ujemne. To jest punkt odkształcenia.

Aby wizualizować to graficznie, ważne jest, aby pamiętać, że wklęsłość krzywej funkcji wyraża jej druga pochodna. Pozytywna druga pochodna wskazuje na wklęsłą krzywą w górę, a ujemna druga pochodna wskazuje krzywą wklęsłą w ​​dół. Trudno jest wskazać dokładny punkt fleksji na wykresie, więc w przypadku zastosowań, w których konieczne jest znanie jego dokładnej wartości, punkt fleksji można rozwiązać matematycznie.

Jedną metodą znalezienia punktu fleksji funkcji jest przyjęcie drugiej pochodnej, ustawienie jej równej zero i rozwiązanie dla x. Nie każda wartość zerowa w tej metodzie będzie punktem przegięcia, więc konieczne jest przetestowanie wartości na obustrona x = 0, aby upewnić się, że znak drugiej pochodnej faktycznie się zmieni. Jeśli tak, wartość w x jest punktem przegięcia.