Was ist ein Wendepunkt?
Der Beugungspunkt ist ein wichtiges Konzept in der Differentialkalkül. An der Beugung verändert die Kurve einer Funktion ihre Konkavität - mit anderen Worten, sie ändert sich von negativ zu positiver Krümmung oder umgekehrt. Dieser Punkt kann auf unterschiedliche Weise definiert oder visualisiert werden. In realen Anwendungen, bei denen ein System mit einer Kurve modelliert wird, ist das Finden des Wendepunkts häufig für die Erwartung des Verhaltens des Systems von entscheidender Bedeutung. In einer bestimmten Funktion erzeugt der X -Wert oder der Wert, der die Eingabe in die Gleichung ist, eine Ausgabe, die durch den Y -Wert dargestellt wird. Bei der Grafik bilden diese Werte eine Kurve.
Eine Kurve kann je nach Verhalten der Funktion über bestimmte Werte entweder konkav oder konkav nach unten sein. Eine konkave Region nach oben erscheint in einer Grafik als sich nach oben geöffnete Schalen-ähnliche Kurve, während sich eine konkave Region nach unten öffnetStationen. Der Punkt, an dem sich diese Konkavität ändert, ist der Wendepunkt. Wenn man einen Punkt auf der Kurve mit einer geraden Linie anlegen würde, die durch sie gezogen wird, die nur die Kurve - eine Tangentenlinie - berührt und diesen Punkt entlang der Kurve verlaufen würde, würde der Beugungspunkt an dem genauen Punkt auftreten, an dem die Tangentenlinie über der Kurve kreuzt.
Mathematisch ist der Punkt der Beugung der Punkt, an dem sich die zweite Ableitung ändert. Die erste Ableitung einer Funktion misst die Änderungsrate einer Funktion als Eingabeänderung, und die zweite Ableitung misst, wie sich diese Änderungsrate selbst ändert. Zum Beispiel wird die Geschwindigkeit eines Autos in einem bestimmten Zeitpunkt durch das erste Derivat dargestellt, aber seine Beschleunigung - zunimmt oder abnimmtGeschwindigkeit - wird durch das zweite Derivat dargestellt. Wenn das Auto beschleunigt wird, ist sein zweites Derivat positiv, aber an dem Punkt, an dem es aufhört, zu beschleunigen und sich zu verlangsamen, werden seine Beschleunigung und sein zweites Derivat negativ. Dies ist der Beugungspunkt.
Um dies grafisch zu visualisieren, ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass die Konkavität der Kurve einer Funktion durch ihr zweites Derivat ausgedrückt wird. Ein positives zweites Derivat zeigt eine konkave Aufwärtskurve an, und ein negatives zweites Derivat zeigt eine konkave Kurve nach unten an. Es ist schwierig, den genauen Wendepunkt in einem Diagramm zu bestimmen. Für Anwendungen, bei denen der genaue Wert erforderlich ist, kann der Beugungspunkt für mathematisch gelöst werden.
Eine Methode zum Auffinden eines Funktionspunkts besteht darin, sein zweites Derivat aufzunehmen, sie gleich Null zu setzen und für x zu lösen. Nicht jeder Nullwert in dieser Methode ist ein Wendepunkt, daher ist es erforderlich, Werte auf beiden zu testenSeite von x = 0, um sicherzustellen, dass sich das Vorzeichen des zweiten Ableiters tatsächlich ändert. Wenn dies der Fall ist, ist der Wert bei x ein Wendepunkt.