Was ist ein Wendepunkt?
Der Wendepunkt ist ein wichtiges Konzept in der Differentialrechnung. Am Wendepunkt ändert die Kurve einer Funktion ihre Konkavität - mit anderen Worten, sie ändert sich von negativer zu positiver Krümmung oder umgekehrt. Dieser Punkt kann auf verschiedene Arten definiert oder visualisiert werden. In realen Anwendungen, in denen ein System mithilfe einer Kurve modelliert wird, ist das Ermitteln des Wendepunkts oft entscheidend für die Vorhersage des Systemverhaltens.
Funktionen in der Analysis können auf einer Ebene grafisch dargestellt werden, die aus einer x- und einer y-Achse besteht, die als kartesische Ebene bezeichnet wird. In jeder gegebenen Funktion erzeugt der x-Wert oder der Wert, der die Eingabe in die Gleichung ist, eine Ausgabe, die durch den y-Wert dargestellt wird. In der Grafik bilden diese Werte eine Kurve.
Eine Kurve kann entweder nach oben oder nach unten konkav sein, abhängig vom Verhalten der Funktion über bestimmte Werte. Ein konkaver Aufwärtsbereich wird in einem Diagramm als schalenartige Kurve angezeigt, die sich nach oben öffnet, während sich ein konkaver Abwärtsbereich nach unten öffnet. Der Punkt, an dem sich diese Konkavität ändert, ist der Wendepunkt.
Es gibt einige verschiedene Methoden, die hilfreich sein können, um zu visualisieren, wo der Wendepunkt auf einer Kurve liegt. Wenn man einen Punkt auf der Kurve mit einer durchgezogenen geraden Linie platzieren würde, die nur die Kurve berührt - eine Tangentenlinie - und diesen Punkt entlang des Kurvenverlaufs verlegen würde, würde der Wendepunkt genau an dem Punkt auftreten, an dem die Tangente liegt Linie kreuzt die Kurve.
Mathematisch ist der Wendepunkt der Punkt, an dem die zweite Ableitung das Vorzeichen ändert. Die erste Ableitung einer Funktion misst die Änderungsrate einer Funktion, wenn sich ihre Eingabe ändert, und die zweite Ableitung misst, wie sich diese Änderungsrate selbst ändern kann. Zum Beispiel wird die Geschwindigkeit eines Autos zu einem gegebenen Zeitpunkt durch die erste Ableitung dargestellt, aber seine Beschleunigung - zunehmende oder abnehmende Geschwindigkeit - wird durch die zweite Ableitung dargestellt. Wenn das Auto beschleunigt, ist seine zweite Ableitung positiv, aber an dem Punkt, an dem es aufhört zu beschleunigen und sich zu verlangsamen, werden seine Beschleunigung und seine zweite Ableitung negativ. Dies ist der Wendepunkt.
Um dies grafisch darzustellen, ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass die Konkavität einer Funktionskurve durch ihre zweite Ableitung ausgedrückt wird. Eine positive zweite Ableitung zeigt eine konkave Aufwärtskurve an, und eine negative zweite Ableitung zeigt eine konkave Abwärtskurve an. Es ist schwierig, den genauen Wendepunkt in einem Graphen zu lokalisieren. Für Anwendungen, bei denen der genaue Wert bekannt sein muss, kann der Wendepunkt mathematisch gelöst werden.
Eine Methode zum Ermitteln des Wendepunkts einer Funktion besteht darin, ihre zweite Ableitung zu nehmen, sie auf Null zu setzen und nach x aufzulösen. Nicht jeder Nullwert in dieser Methode ist ein Wendepunkt. Daher müssen Werte auf beiden Seiten von x = 0 getestet werden, um sicherzustellen, dass sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung tatsächlich ändert. Ist dies der Fall, ist der Wert bei x ein Wendepunkt.