Qu'est-ce qu'un point d'inflexion?
Le point d'inflexion est un concept important dans le calcul différentiel. Au point d'inflexion, la courbe d'une fonction change de concavité. En d'autres termes, elle passe d'une courbure négative à une courbure positive, ou inversement. Ce point peut être défini ou visualisé de différentes manières. Dans les applications du monde réel où un système est modélisé à l'aide d'une courbe, la détermination du point d'inflexion est souvent essentielle pour anticiper le comportement du système.
Les fonctions en calcul peuvent être représentées graphiquement sur un plan constitué d'un axe x et y, appelé plan cartésien. Dans toute fonction donnée, la valeur x, ou la valeur entrée dans l'équation, produit une sortie, représentée par la valeur y. Lorsqu'elles sont représentées, ces valeurs forment une courbe.
Une courbe peut être concave vers le haut ou concave vers le bas, en fonction du comportement de la fonction sur certaines valeurs. Une région concave vers le haut apparaît sur un graphique sous la forme d'une courbe en forme de cuvette s'ouvrant vers le haut, tandis qu'une région concave vers le bas s'ouvre vers le bas. Le point où cette concavité change est le point d'inflexion.
Quelques méthodes différentes peuvent être utiles pour visualiser où se situe le point d'inflexion sur une courbe. Si vous deviez placer un point sur la courbe avec une ligne droite tracée qui touche juste la courbe - une tangente - et suivre ce point le long du tracé de la courbe, le point d'inflexion se produirait au point exact où la tangente la ligne traverse la courbe.
Mathématiquement, le point d'inflexion est le point où la seconde dérivée change de signe. La première dérivée d'une fonction mesure le taux de changement d'une fonction lorsque ses entrées changent, et la deuxième dérivée mesure la manière dont ce taux de changement peut changer. Par exemple, la vitesse d'une voiture à un moment donné est représentée par la dérivée première, mais son accélération - vitesse croissante ou décroissante - est représentée par la dérivée seconde. Si la voiture accélère, sa dérivée seconde est positive, mais au point où elle cesse de s’accélérer et commence à ralentir, son accélération et sa dérivée seconde deviennent négatives. C'est le point d'inflexion.
Pour visualiser cela graphiquement, il est important de garder à l'esprit que la concavité de la courbe d'une fonction est exprimée par sa dérivée seconde. Une dérivée seconde positive indique une courbe ascendante concave et une dérivée seconde négative indique une courbe concave descendante. Il est difficile de localiser le point d'inflexion exact sur un graphique. Par conséquent, pour les applications où il est nécessaire de connaître sa valeur exacte, le point d'inflexion peut être résolu mathématiquement.
Une méthode pour trouver le point d'inflexion d'une fonction consiste à prendre sa dérivée seconde, à la définir égale à zéro et à résoudre x. Toutes les valeurs zéro dans cette méthode ne constitueront pas un point d'inflexion. Il est donc nécessaire de tester les valeurs de part et d'autre de x = 0 pour vous assurer que le signe de la dérivée seconde change réellement. Si c'est le cas, la valeur en x est un point d'inflexion.