Qu'est-ce qu'un point d'inflexion?
Le point d'inflexion est un concept important dans le calcul différentiel. Au moment de l'inflexion, la courbe d'une fonction modifie sa concavité - en d'autres termes, il passe de la courbure négative à la courbure positive, ou vice versa. Ce point peut être défini ou visualisé de différentes manières. Dans les applications du monde réel où un système est modélisé à l'aide d'une courbe, trouver le point d'inflexion est souvent essentiel pour anticiper le comportement du système.
Les fonctions dans le calcul peuvent être représentées sur un plan composé d'un axe x et y, appelé plan cartésien. Dans une fonction donnée, la valeur x, ou la valeur qui est l'entrée dans l'équation, produit une sortie, représentée par la valeur y. Lorsqu'elles sont graphiques, ces valeurs forment une courbe.
Une courbe peut être concave vers le haut ou concave vers le bas, selon le comportement de la fonction sur certaines valeurs. Une région de haut niveau concave apparaît sur un graphique comme une courbe de type bol s'ouvrant, tandis qu'une région du bas concave s'ouvrePases. Le point auquel cette concavité change est le point d'inflexion.
Il existe plusieurs méthodes différentes qui peuvent être utiles pour visualiser où le point d'inflexion se trouve sur une courbe. Si l'on devait placer un point sur la courbe avec une ligne droite tracée qui touche simplement la courbe - une ligne tangente - et exécuter ce point le long du cours de la courbe, le point d'inflexion se produirait au point exact où la ligne tangente traverse la courbe.
Mathématiquement, le point d'inflexion est le point où le deuxième dérivé change le signe. Le premier dérivé d'une fonction mesure le taux de changement d'une fonction à mesure que son entrée change, et le deuxième dérivé mesure comment ce taux de changement lui-même peut changer. Par exemple, la vitesse d'une voiture à un moment donné est représentée par le premier dérivé, mais son accélération - augmentant ou diminuantvitesse - est représentée par le deuxième dérivé. Si la voiture accélère, sa deuxième dérivée est positive, mais au point où elle cesse de ralentir et commence à ralentir, son accélération et son deuxième dérivé deviennent négatifs. C'est le point d'inflexion.
Pour visualiser cela graphiquement, il est important de se rappeler que la concavité de la courbe d'une fonction est exprimée par son deuxième dérivé. Une seconde dérivée positive indique une courbe ascendante concave, et une seconde dérivée négative indique une courbe qui est concave vers le bas. Il est difficile de déterminer le point exact d'inflexion sur un graphique, donc pour les applications où il est nécessaire de connaître sa valeur exacte, le point d'inflexion peut être résolu pour mathématiquement.
Une méthode pour trouver le point d'inflexion d'une fonction consiste à prendre sa deuxième dérivée, à le définir égal à zéro et à résoudre pour x. Toutes les valeurs nulles ne seront pas un point d'inflexion, il est donc nécessaire de tester les valeurs sur l'un ou l'autrecôté de x = 0 pour s'assurer que le signe du deuxième dérivé change réellement. Si c'est le cas, la valeur à x est un point d'inflexion.