Hvad er et infektionspunkt?
Bøjningspunktet er et vigtigt koncept i den differentielle beregning. På bøjningspunktet ændrer kurven for en funktion sin konkavitet - med andre ord ændrer den sig fra negativ til positiv krumning, eller omvendt. Dette punkt kan defineres eller visualiseres på forskellige måder. I applikationer i den virkelige verden, hvor et system modelleres ved hjælp af en kurve, er det ofte vigtigt at finde bøjningspunktet for at foregribe systemets opførsel.
Funktioner i beregningen kan graferes på et plan bestående af en x- og y-akse, kaldet et kartesisk plan. I en hvilken som helst given funktion producerer x-værdien eller den værdi, der er input til ligningen, et output repræsenteret af y-værdien. Når der tegnes diagrammer, danner disse værdier en kurve.
En kurve kan enten være konkave opad eller konkave nedad, afhængigt af funktionens opførsel over bestemte værdier. Et konkavt opadgående område vises på en graf som en skållignende kurve, der åbner opad, mens en konkav nedadgående region åbner nedad. Det punkt, hvor denne konkavitet ændres, er bøjningspunktet.
Der er et par forskellige metoder, der kan være nyttige til at visualisere, hvor bøjningspunktet ligger på en kurve. Hvis man skulle placere et punkt på kurven med en lige linje trukket gennem den, der bare berører kurven - en tangentlinie - og køre dette punkt langs kurvens løb, ville bøjningspunktet forekomme på det nøjagtige punkt, hvor tangenten linje krydser over kurven.
Matematisk er bøjningspunktet det punkt, hvor det andet derivat ændrer tegn. Den første afledte af en funktion måler hastigheden for ændring af en funktion, når dens input ændres, og den anden derivat måler, hvordan denne ændringshastighed i sig selv kan ændre sig. For eksempel er en bils hastighed på et givet tidspunkt repræsenteret af det første derivat, men dens acceleration - stigende eller faldende hastighed - er repræsenteret af det andet derivat. Hvis bilen sætter fart, er dens andet derivat positivt, men på det punkt, hvor den holder op med at fremskynde og begynder at aftage, bliver dens acceleration og dens andet derivat negativ. Dette er bøjningspunktet.
For at visualisere dette grafisk er det vigtigt at huske, at konkaviteten af en funktions kurve udtrykkes af dens andet derivat. Et positivt andet derivat indikerer en konkav opadgående kurve, og et negativt andet derivat indikerer en kurve, der er konkave nedad. Det er vanskeligt at fastlægge det nøjagtige bøjningspunkt på en graf, så for applikationer, hvor det er nødvendigt at kende dets nøjagtige værdi, kan bøjningspunktet løses til matematisk.
En metode til at finde en funktions bøjningspunkt er at tage det andet derivat, indstille det lig med nul og løse for x. Ikke hver nulværdi i denne metode vil være et bøjningspunkt, så det er nødvendigt at teste værdier på hver side af x = 0 for at sikre sig, at tegnet på det andet derivat faktisk ændrer sig. Hvis det gør det, er værdien ved x et bøjningspunkt.