Hvad er et bøjningspunkt?
Bøjningspunktet er et vigtigt koncept i differentiel beregning. På bøjningspunktet ændrer kurven for en funktion dens konkavitet - med andre ord ændres den fra negativ til positiv krumning eller omvendt. Dette punkt kan defineres eller visualiseres på forskellige måder. I applikationer i den virkelige verden, hvor et system modelleres ved hjælp af en kurve, er det ofte kritisk at finde, at bøjningspunktet er kritisk i at forudse systemets opførsel.
-funktioner i beregningen kan tegnes på et plan bestående af en X- og Y-akse, kaldet et kartesisk plan. I enhver given funktion producerer X -værdien eller den værdi, der er input til ligningen, et output, repræsenteret af Y -værdien. Når de er tegnet, danner disse værdier en kurve En konkave opadgående region vises på en graf som en skållignende kurve, der åbner opad, mens en konkav nedadgående region åbnerafdelinger. Det punkt, hvor denne konkavitet ændres, er bøjningspunktet.
Der er et par forskellige metoder, der kan være nyttige til at visualisere, hvor bøjningspunktet ligger på en kurve. Hvis man skulle placere et punkt på kurven med en lige linje trukket gennem den, der bare berører kurven - en tangentlinje - og køre dette punkt langs kurven, ville bøjningspunktet forekomme på det nøjagtige punkt, hvor tangentlinjen krydser over kurven.
Matematisk er bøjningspunktet det punkt, hvor det andet derivatskift tegn. Det første derivat af en funktion måler ændringshastigheden for en funktion, når dens input ændres, og det andet derivat måler, hvordan denne ændringshastighed kan ændre sig. For eksempel er en bils hastighed på et givet tidspunkt repræsenteret af det første derivat, men dens acceleration - stigende eller faldendeHastighed - er repræsenteret af det andet derivat. Hvis bilen fremskynder, er dens andet derivat positiv, men på det punkt, hvor den holder op med at fremskynde og begynder at bremse, bliver dens acceleration og dets andet derivat negativt. Dette er punktet med bøjning.
For at visualisere dette grafisk er det vigtigt at huske, at konkaviteten af en funktions kurve udtrykkes ved dets andet derivat. Et positivt andet derivat indikerer en konkav opadgående kurve, og et negativt andet derivat indikerer en kurve, der er konkav nedad. Det er vanskeligt at finde det nøjagtige punkt på bøjning på en graf, så for applikationer, hvor det er nødvendigt at kende dens nøjagtige værdi, kan bøjningspunktet løses for matematisk.
En metode til at finde en funktions bøjningspunkt er at tage sit andet derivat, indstille den lig med nul og løse for x. Ikke hver nulværdi i denne metode vil være et bøjningspunkt, så det er nødvendigt at teste værdier på beggeside af x = 0 for at sikre, at tegnet på det andet derivat faktisk ændrer sig. Hvis det gør det, er værdien ved x et bøjningspunkt.