Vad är en böjningspunkt?
Böjningspunkten är ett viktigt begrepp i differentiell beräkning. Vid böjningspunkten ändrar kurvan för en funktion dess konkavitet - med andra ord, den förändras från negativ till positiv krökning, eller vice versa. Denna punkt kan definieras eller visualiseras på olika sätt. I verkliga applikationer där ett system modelleras med hjälp av en kurva är det ofta viktigt att hitta böjningspunkten för att förutse systemets beteende.
Funktioner i kalkylen kan ritas på ett plan som består av en x- och y-axel, kallad ett kartesiskt plan. I en given funktion ger x-värdet, eller värdet som är ingången till ekvationen, en utgång, representerad av y-värdet. När de visas i diagram bildar dessa värden en kurva.
En kurva kan vara antingen konkav uppåt eller konkav nedåt, beroende på funktionens beteende över vissa värden. Ett konkavt uppåtriktat område visas på en graf som en skålliknande kurva som öppnar uppåt, medan en konkav nedåtriktad region öppnas nedåt. Den punkt där denna konkavitet förändras är böjningspunkten.
Det finns några olika metoder som kan vara till hjälp för att visualisera var böjningspunkten ligger på en kurva. Om man placerade en punkt på kurvan med en rak linje som dras genom den som bara rör vid kurvan - en tangentlinje - och kör den punkten längs kurvan, skulle böjningspunkten inträffa på den exakta punkten där tangenten linje korsar över kurvan.
Matematiskt är böjningspunkten den punkt där det andra derivatet ändrar tecken. Det första derivatet av en funktion mäter förändringsgraden för en funktion när dess ingång ändras, och det andra derivatet mäter hur denna förändringsgrad i sig kan förändras. Till exempel representeras en bils hastighet vid ett givet ögonblick av det första derivatet, men dess acceleration - ökar eller minskar hastigheten - representeras av det andra derivatet. Om bilen påskyndas är dess andra derivat positiva, men vid den punkt där den slutar påskynda och börjar sakta, blir dess acceleration och dess andra derivat negativ. Detta är böjningspunkten.
För att visualisera detta grafiskt är det viktigt att komma ihåg att konkaviteten i en funktions kurva uttrycks av dess andra derivat. Ett positivt andra derivat indikerar en konkav uppåtriktad kurva, och ett negativt andra derivat indikerar en kurva som är konkav nedåt. Det är svårt att fastställa den exakta böjningspunkten på en graf, så för applikationer där det är nödvändigt att veta dess exakta värde kan böjningspunkten lösas för matematisk.
En metod för att hitta en funktions böjningspunkt är att ta sitt andra derivat, ställa in det lika med noll och lösa för x. Inte varje nollvärde i denna metod kommer att vara en böjningspunkt, så det är nödvändigt att testa värden på vardera sidan om x = 0 för att se till att tecknet för det andra derivatet faktiskt ändras. Om det gör det är värdet vid x en böjningspunkt.