Wat is een buigpunt?

Het buigpunt is een belangrijk concept in differentiële calculus. Op het punt van verbuiging verandert de curve van een functie zijn concaafheid - met andere woorden, het verandert van negatieve naar positieve kromming, of vice versa. Dit punt kan op verschillende manieren worden gedefinieerd of gevisualiseerd. In real-world toepassingen waarbij een systeem wordt gemodelleerd met behulp van een curve, is het vinden van het buigpunt vaak van cruciaal belang om te anticiperen op het gedrag van het systeem.

-functies in calculus kunnen worden geactiveerd op een vlak bestaande uit een x- en y-as, een Cartesiaans vlak genoemd. In een bepaalde functie produceert de X -waarde, of de waarde die de invoer in de vergelijking is, een uitvoer, weergegeven door de Y -waarde. Wanneer grafisch in grafieken, vormen deze waarden een curve.

Een curve kan ofwel concaaf omhoog of concaaf naar beneden zijn, afhankelijk van het gedrag van de functie over bepaalde waarden. Een concave opwaartse regio verschijnt in een grafiek als een komachtige curve die naar boven opengaat, terwijl een concaaf naar beneden regio opentafdelingen. Het punt waarop deze concaafheid verandert, is het buigpunt.

Er zijn een paar verschillende methoden die nuttig kunnen zijn bij het visualiseren waar het buigpunt op een curve ligt. Als iemand een punt op de curve zou plaatsen met een rechte lijn die erdoorheen wordt getrokken die alleen de curve raakt - een raaklijnlijn - en dat punt langs de loop van de curve zou laten lopen, zou het buigpunt op het exacte punt plaatsvinden waar de raaklijn over de curve kruist.

Wiskundig gezien is het punt van verbuiging het punt waar de tweede afgeleide ondertekent. De eerste derivaat van een functie meet de snelheid van verandering van een functie als de input verandert, en de tweede afgeleide meet hoe deze snelheid van verandering zelf kan veranderen. De snelheid van een auto op een bepaald moment wordt bijvoorbeeld weergegeven door de eerste afgeleide, maar de versnelling ervan - toenemen of afnemenSnelheid - wordt weergegeven door de tweede afgeleide. Als de auto versnelt, is het tweede afgeleide positief, maar op het punt waar het stopt met versnellen en begint te vertragen, worden de versnelling ervan en zijn tweede afgeleide negatief. Dit is het punt van verbuiging.

Om dit grafisch te visualiseren, is het belangrijk om te onthouden dat de concaafheid van de curve van een functie wordt uitgedrukt door zijn tweede derivaat. Een positief tweede derivaat duidt op een concave opwaartse curve en een negatief tweede derivaat geeft een curve aan die naar beneden is concaaf. Het is moeilijk om het exacte buigpunt in een grafiek te bepalen, dus voor toepassingen waar het nodig is om de exacte waarde ervan te weten, kan het buigpunt voor wiskundig worden opgelost.

Een methode om het buigpunt van een functie te vinden, is om zijn tweede afgeleide te nemen, het gelijk aan nul in te stellen en op te lossen voor x. Niet elke nulwaarde in deze methode zal een buigpunt zijn, dus het is noodzakelijk om waarden op beide te testenzijde van x = 0 om ervoor te zorgen dat het teken van het tweede derivaat daadwerkelijk verandert. Als dit het geval is, is de waarde bij X een buigpunt.