Wat is een buigpunt?

Het buigpunt is een belangrijk concept in de differentiaalrekening. Op het punt van buiging verandert de curve van een functie zijn concave vorm - met andere woorden, deze verandert van negatieve naar positieve kromming, of vice versa. Dit punt kan op verschillende manieren worden gedefinieerd of gevisualiseerd. In praktijktoepassingen waarbij een systeem met behulp van een curve wordt gemodelleerd, is het vinden van het buigpunt vaak van cruciaal belang bij het anticiperen op het gedrag van het systeem.

Functies in calculus kunnen worden uitgezet op een vlak bestaande uit een x- en y-as, een Cartesiaans vlak genoemd. In elke gegeven functie produceert de x-waarde, of de waarde die de invoer in de vergelijking is, een uitvoer, voorgesteld door de y-waarde. In een grafiek vormen deze waarden een curve.

Een curve kan concaaf omhoog of concaaf omlaag zijn, afhankelijk van het gedrag van de functie over bepaalde waarden. Een concaaf naar boven gericht gebied verschijnt op een grafiek als een komachtige curve die naar boven opent, terwijl een concaaf naar beneden gericht gebied naar beneden opent. Het punt waarop deze holte verandert, is het buigpunt.

Er zijn een paar verschillende methoden die kunnen helpen bij het visualiseren waar het buigpunt op een curve ligt. Als je een punt op de curve zou plaatsen met een rechte lijn erdoor getrokken die net de curve raakt - een raaklijn - en dat punt langs het verloop van de curve loopt, zou het buigpunt precies op het punt komen waar de raaklijn lijn kruist de curve.

Wiskundig is het buigpunt het punt waar de tweede afgeleide van teken verandert. De eerste afgeleide van een functie meet de mate van verandering van een functie wanneer de invoer ervan verandert, en de tweede afgeleide meet hoe deze mate van verandering zelf kan veranderen. De snelheid van een auto op een bepaald moment wordt bijvoorbeeld weergegeven door de eerste afgeleide, maar de versnelling - toenemende of afnemende snelheid - wordt weergegeven door de tweede afgeleide. Als de auto versnelt, is zijn tweede afgeleide positief, maar op het punt waar hij stopt met versnellen en begint te vertragen, worden zijn versnelling en zijn tweede afgeleide negatief. Dit is het buigpunt.

Om dit grafisch te visualiseren, is het belangrijk om te onthouden dat de concaafheid van de curve van een functie wordt uitgedrukt door de tweede afgeleide. Een positieve tweede afgeleide geeft een concave opwaartse curve aan, en een negatieve tweede afgeleide geeft een curve aan die naar beneden concaaf is. Het is moeilijk om het exacte buigpunt in een grafiek te bepalen, dus voor toepassingen waarbij het nodig is om de exacte waarde ervan te weten, kan het buigpunt wiskundig worden opgelost.

Een methode om het buigpunt van een functie te vinden, is de tweede afgeleide te nemen, deze gelijk te stellen aan nul en op te lossen voor x. Niet elke nulwaarde in deze methode zal een buigpunt zijn, dus het is noodzakelijk om waarden aan beide zijden van x = 0 te testen om ervoor te zorgen dat het teken van de tweede afgeleide daadwerkelijk verandert. Als dit het geval is, is de waarde bij x een buigpunt.