変曲点とは何ですか？

変曲点は、微分計算の重要な概念です。 変曲の時点で、関数の曲線はその凹面を変化させます。つまり、ネガティブからポジティブ曲率、またはその逆に変化します。 この点は、さまざまな方法で定義または視覚化できます。 システムが曲線を使用してモデル化されている現実世界のアプリケーションでは、システムの動作を予測する上で変曲点を見つけることがしばしば重要です。

calculusの関数は、デカルト平面と呼ばれるxおよびy軸からなる平面でグラフ化できます。 特定の関数では、x値、または方程式への入力である値は、y値で表される出力を生成します。 グラフ化すると、これらの値は曲線を形成します。

a曲線は、特定の値にわたる関数の動作に応じて、上向きまたは下向きに凹にすることができます。 凹面上向きの領域は、ボウルのような曲線が上向きに開くようにグラフに表示され、凹面の下領域が開きます区。 この凹面が変化するポイントは、変曲点です。

変曲点が曲線上にある場所を視覚化するのに役立ついくつかの異なる方法があります。 曲線（接線線）に触れる直線が描かれ、曲線のコースに沿ってそのポイントを実行する直線が描かれて曲線に点を置くと、変曲点は接線線が曲線を横切る正確なポイントで発生します。

数学的には、変曲の点は、2番目の微分が符号を変更するポイントです。 関数の最初の導関数は、その入力が変化するにつれて関数の変化率を測定し、2番目の導関数は、この変化率自体がどのように変化しているかを測定します。 たとえば、特定の瞬間に車の速度は最初の微分によって表されますが、その加速 - 増加または減少速度 - 2番目の微分で表されます。 車がスピードアップすると、その2番目の派生物は正ですが、スピードアップを停止して減速し始める時点で、その加速と2番目の導関数は負になります。 これが変曲のポイントです。

これをグラフィカルに視覚化するには、関数の曲線の凹面が2番目の導関数で表されることを覚えておくことが重要です。 正の2番目の誘導体は、凹面上向きの曲線を示し、負の2番目の導関数は、下方に凹の曲線を示します。 グラフ上の変曲点を正確に特定することは困難です。そのため、正確な値を知る必要があるアプリケーションの場合、変曲点は数学的に解決できます。

関数の変曲点を見つける1つの方法は、2番目の微分を取得し、ゼロに等しく設定し、xを解くことです。 この方法のすべてのゼロ値が変曲点になるわけではないため、どちらかで値をテストする必要がありますx = 0の側面2番目の微分の符号が実際に変化することを確認します。 もしそうなら、xの値は変曲点です。