変曲点とは何ですか？

変曲点は微分計算の重要な概念です。 変曲点で、関数の曲線は凹面を変化させます。つまり、負の曲率から正の曲率に、またはその逆に変化します。 このポイントは、さまざまな方法で定義または視覚化できます。 曲線を使用してシステムがモデル化されている実際のアプリケーションでは、システムの動作を予測するために、変曲点を見つけることがしばしば重要です。

微積分の関数は、デカルト平面と呼ばれるx軸とy軸で構成される平面にグラフ化できます。 どの関数でも、x値、または方程式への入力である値は、y値で表される出力を生成します。 グラフ化すると、これらの値は曲線を形成します。

曲線は、特定の値に対する関数の動作に応じて、上に凹か下に凹のいずれかになります。 上向きに凹んだ領域は、上向きに開くボウルのような曲線としてグラフに表示され、下向きに凹んだ領域は下向きに開きます。 この凹面が変化する点が変曲点です。

変曲点が曲線上のどこにあるかを視覚化するのに役立ついくつかの異なる方法があります。 曲線に接する直線で描かれた点を接線上に置いて曲線上に配置し、曲線のコースに沿ってその点を実行すると、変曲点は接線の正確な点で発生します。線が曲線を越えます。

数学的には、変曲点は2次導関数の符号が変わる点です。 関数の一次導関数は、入力が変化するときの関数の変化率を測定し、二次導関数は、この変化率自体がどのように変化するかを測定します。 たとえば、特定の瞬間の車の速度は1次導関数で表されますが、その加速度（速度の増減）は2次導関数で表されます。 車の速度が上がると、二次導関数は正になりますが、加速が停止して減速し始める時点で、加速と二次導関数は負になります。 これが変曲点です。

これをグラフィカルに視覚化するには、関数の曲線の凹面がその2次導関数によって表されることを覚えておくことが重要です。 正の2次導関数は上に凹の曲線を示し、負の2次導関数は下に凹の曲線を示します。 グラフ上の正確な変曲点を特定するのは難しいため、正確な値を知る必要があるアプリケーションの場合、変曲点は数学的に解くことができます。

関数の変曲点を見つける1つの方法は、2次導関数を取得し、ゼロに設定し、xを解くことです。 このメソッドのすべてのゼロ値が変曲点になるわけではないため、x = 0の両側で値をテストして、2次導関数の符号が実際に変化することを確認する必要があります。 存在する場合、xの値は変曲点です。