Hva er et bøyningspunkt?
Bøyningspunktet er et viktig konsept i differensialberegningen. På bøyepunktet endrer kurven til en funksjon konkaviteten - med andre ord, den endres fra negativ til positiv krumning, eller omvendt. Dette punktet kan defineres eller visualiseres på forskjellige måter. I virkelige applikasjoner der et system blir modellert ved hjelp av en kurve, er det ofte viktig å finne bøyningspunktet for å forutse systemets oppførsel.
Funksjoner i kalkulus kan graferes på et plan som består av en x- og y-akse, kalt et kartesisk plan. I en hvilken som helst gitt funksjon produserer x-verdien, eller verdien som er input i ligningen, en utgang, representert med y-verdien. Når disse er tegnet, danner disse verdiene en kurve.
En kurve kan enten være konkave oppover eller konkave nedover, avhengig av atferden til funksjonen over visse verdier. Et konkavt oppoverområde vises på en graf som en skållignende kurve som åpner seg oppover, mens en konkav nedadgående region åpnes nedover. Punktet hvor denne konkaviteten endres er bøyningspunktet.
Det er noen få forskjellige metoder som kan være nyttige i å visualisere hvor bøyningspunktet ligger på en kurve. Hvis man skulle plassere et punkt på kurven med en rett linje trukket gjennom den som bare berører kurven - en tangenslinje - og løpe dette punktet langs kurven, ville bøyningspunktet oppstå på det nøyaktige punktet der tangenten linje krysser over kurven.
Matematisk sett er bøyningspunktet det punktet der det andre derivatet endrer tegn. Det første derivatet av en funksjon måler endringshastigheten til en funksjon når inngangen endres, og den andre avledningen måler hvordan denne endringsfrekvensen selv kan endre seg. For eksempel er en bils hastighet i et gitt øyeblikk representert av det første derivatet, men akselerasjonen - økende eller synkende hastighet - er representert av det andre derivatet. Hvis bilen setter fart, er det andre derivatet positivt, men på det punktet hvor den slutter å sette fart og begynner å bremse, blir akselerasjonen og det andre derivatet det negativt. Dette er bøyningspunktet.
For å visualisere dette grafisk, er det viktig å huske at konkaviteten til en funksjons kurve kommer til uttrykk ved dens andre derivat. Et positivt andre derivat indikerer en konkav oppadgående kurve, og et negativt andre derivat indikerer en kurve som er konkave nedover. Det er vanskelig å finne det eksakte bøyningspunktet på en graf, så for applikasjoner der det er nødvendig å vite dens eksakte verdi, kan bøyningspunktet løses for matematisk.
En metode for å finne en funksjons bøyningspunkt er å ta det andre derivatet, stille det lik null og løse for x. Ikke hver nullverdi i denne metoden vil være et bøyningspunkt, så det er nødvendig å teste verdier på hver side av x = 0 for å sikre at tegnet til det andre derivatet faktisk endres. Hvis den gjør det, er verdien ved x et bøyningspunkt.