Hva er et bøyningspunkt?
Bøyningspunktet er et viktig konsept i differensiell beregning. Ved bøyningspunktet endrer kurven for en funksjon dens konkavitet - med andre ord endres den fra negativ til positiv krumning, eller omvendt. Dette punktet kan defineres eller visualiseres på forskjellige måter. I den virkelige applikasjonen der et system modelleres ved hjelp av en kurve, er det å finne bøyningspunktet ofte kritisk for å forutse systemets oppførsel.
Funksjoner i kalkulus kan graferes på et plan bestående av en x- og y-akse, kalt et kartesisk plan. I en gitt funksjon produserer x -verdien, eller verdien som er inngangen til ligningen, en utgang, representert med y -verdien. Når de er grafert, danner disse verdiene en kurve.
En kurve kan enten være konkave oppover eller konkave nedover, avhengig av atferden til funksjonen over visse verdier. Et konkav oppover-region vises på en graf som en skållignende kurve som åpner seg oppover, mens en konkav nedadgående region åpnes nedavdelinger. Punktet der denne konkaviteten endres er bøyningspunktet.
Det er noen få forskjellige metoder som kan være nyttige for å visualisere hvor bøyningspunktet ligger på en kurve. Hvis man skulle plassere et punkt på kurven med en rett linje trukket gjennom den som bare berører kurven - en tangentlinje - og løpe det punktet langs kurven, ville bøyningspunktet oppstå på det nøyaktige punktet der tangentlinjen krysser kurven.
Matematisk er bøyningspunktet poenget der det andre derivat endrer tegn. Det første derivatet av en funksjon måler endringshastigheten på en funksjon når inngangen endres, og det andre derivatet måler hvordan denne endringshastigheten i seg selv kan endres. For eksempel er en bils hastighet i et gitt øyeblikk representert av det første derivatet, men dens akselerasjon - øker eller synkerHastighet - er representert av det andre derivatet. Hvis bilen setter fart på, er det andre derivatet positivt, men på det punktet hvor den slutter å fart opp og begynner å avta, blir akselerasjonen og det andre derivatet negativt. Dette er bøyningspunktet.
For å visualisere dette grafisk, er det viktig å huske at konkaviteten til en funksjons kurve uttrykkes av det andre derivatet. Et positivt andre derivat indikerer en konkav oppover -kurve, og et negativt sekunds derivat indikerer en kurve som er konkav nedover. Det er vanskelig å kartlegge det nøyaktige bøyningspunktet på en graf, så for applikasjoner der det er nødvendig å kjenne dens nøyaktige verdi, kan bøyningspunktet løses for matematisk.
En metode for å finne en funksjons bøyningspunkt er å ta sitt andre derivat, sette den lik null og løse for x. Ikke alle nullverdier i denne metoden vil være et bøyningspunkt, så det er nødvendig å teste verdier på beggeSide av x = 0 for å sikre at tegnet på det andre derivatet faktisk endres. Hvis det gjør det, er verdien ved x et bøyningspunkt.