O que é um ponto de inflexão?

O ponto de inflexão é um conceito importante no cálculo diferencial. No ponto de inflexão, a curva de uma função altera sua concavidade - em outras palavras, ela muda de curvatura negativa para positiva ou vice -versa. Este ponto pode ser definido ou visualizado de maneiras diferentes. Em aplicações no mundo real em que um sistema está sendo modelado usando uma curva, encontrar o ponto de inflexão geralmente é crítico ao antecipar o comportamento do sistema. Em qualquer função, o valor x, ou o valor que é a entrada na equação, produz uma saída, representada pelo valor y. Quando graficamente, esses valores formam uma curva. Uma região côncava para cima aparece em um gráfico como uma curva em forma de tigela, se abrindo para cima, enquanto uma região côncava para baixo se abre para baixoalas. O ponto em que essa concavidade muda é o ponto de inflexão.

Existem alguns métodos diferentes que podem ser úteis na visualização de onde está o ponto de inflexão em uma curva. Se alguém colocasse um ponto na curva com uma linha reta desenhada através dela que apenas toca a curva - uma linha tangente - e executou esse ponto ao longo do curso da curva, o ponto de inflexão ocorreria no ponto exato em que a linha tangente atravessa a curva.

Matematicamente, o ponto de inflexão é o ponto em que o segundo derivado muda o sinal. A primeira derivada de uma função mede a taxa de mudança de uma função como suas mudanças de entrada, e o segundo derivado mede como essa taxa de mudança pode estar mudando. Por exemplo, a velocidade de um carro em um determinado momento é representada pela primeira derivada, mas sua aceleração - aumentando ou diminuindoA velocidade - é representada pelo segundo derivado. Se o carro acelerar, seu segundo derivado é positivo, mas no ponto em que para de acelerar e começa a desacelerar, sua aceleração e sua segunda derivada se tornam negativos. Este é o ponto de inflexão.

Para visualizar isso graficamente, é importante lembrar que a concavidade da curva de uma função é expressa por sua segunda derivada. Um segundo derivado positivo indica uma curva ascendente côncava, e um segundo derivado negativo indica uma curva que é côncava para baixo. É difícil identificar o ponto exato da inflexão em um gráfico; portanto, para aplicações onde é necessário saber seu valor exato, o ponto de inflexão pode ser resolvido para matematicamente.

Um método de encontrar o ponto de inflexão de uma função é pegar seu segundo derivado, defini -lo igual a zero e resolver x. Nem todo valor zero neste método será um ponto de inflexão, por isso é necessário testar valores em qualquerlado de x = 0 para garantir que o sinal do segundo derivado realmente mude. Se isso acontecer, o valor em x é um ponto de inflexão.