補間とは何ですか？

補間では、データポイントのセットでパターンを検出して、2つのポイント間の値を推定します。 線形補間は、補間する最も簡単な方法の1つです。2点を結ぶ線を使用して中間値を推定します。 高次の多項式は、より正確だがより複雑な結果を得るために線形関数を置き換えることができます。 内挿は、外挿と対比できます。外挿は、ポイント間ではなく、ポイントセットの外側の値を推定するために使用されます。

データポイントの離散セットには、2つ以上の座標を持つポイントがあります。 典型的なXY散布図では、水平方向の変数はx、垂直方向の変数はyです。 視覚化を容易にするために、x座標とy座標の両方を持つデータポイントをこのグラフにプロットできます。 実際のアプリケーションでは、xとyの両方が有限の実世界の量を表します。 Xは通常、時間や空間などの独立変数を表し、yは母集団などの従属変数を表します。

多くの場合、データは個別のポイントでのみ収集できます。 国の人口を監視する例では、国勢調査は特定の時間にのみ取得できます。 これらの測定値は、XYチャートに個別のデータポイントとしてプロットできます。

国勢調査が5年ごとにのみ行われる場合、国勢調査間の正確な人口を知ることは不可能です。 線形補間では、2つのデータポイントが線形関数で接続されます。 これは、従属変数（母集団）が一定の割合で変化して、次のデータポイントに到達すると想定されることを意味します。 人口調査の1年後の人口が必要な場合、2つのデータポイントを線形補間して、接続線に基づいて中間値を推定できます。 通常、実際の変数はデータポイント間で線形に変化しないことは明らかですが、この単純化はしばしば十分に正確です。

ただし、場合によっては、線形補間により推定値に多くの誤差が生じます。 たとえば、人口は多くのシナリオで指数関数的に増加します。 指数関数的成長では、成長率自体が増加しています。人口が増加すると出生数が増加し、人口増加率が増加します。 XY散布図では、この種の動作は「上に曲がった」傾向を示します。この種の研究には、より正確な補間方法が適切な場合があります。

多項式補間では、多数のデータポイントを多項式関数で接続します。 線形関数は、実際にはさまざまな多項式関数、つまり1次の多項式です。 ただし、多項式には1次よりも高い次数があります。2次は放物線、3次は3次関数などです。 人口データポイントのセットは、前者がデータに一致するように上下にカーブできるため、線形関数よりも多項式関数でより適切に補間される場合があります。