Co to jest interpolacja?

Interpolacja polega na odkryciu wzorca w zestawie punktów danych w celu oszacowania wartości między dwoma punktami. Interpolacja liniowa jest jednym z najprostszych sposobów interpolacji - linia łącząca dwa punkty służy do oszacowania wartości pośrednich. Wielomiany wyższego rzędu mogą zastępować funkcje liniowe w celu uzyskania dokładniejszych, ale bardziej skomplikowanych wyników. Interpolację można skontrastować z ekstrapolacją, która służy do oszacowania wartości poza zbiorem punktów zamiast między nimi.

Dyskretny zestaw punktów danych ma punkty o dwóch lub więcej współrzędnych. Na typowym wykresie rozproszenia XY zmienną poziomą jest x, a zmienną pionową jest y. Punkty danych ze współrzędnymi X i Y można wykreślić na tym wykresie w celu łatwej wizualizacji. W praktycznych zastosowaniach zarówno x, jak i y oznaczają skończone wielkości rzeczywiste. X ogólnie reprezentuje zmienną niezależną, taką jak czas lub przestrzeń, podczas gdy y reprezentuje zmienną zależną, taką jak populacja.

Często dane mogą być gromadzone tylko w dyskretnych punktach. W przykładzie monitorowania populacji kraju spis ludności można wykonać tylko w określonych momentach. Pomiary te można wykreślić jako dyskretne punkty danych na wykresie XY.

Jeśli spis jest przeprowadzany tylko co pięć lat, nie można dokładnie określić populacji między spisami. W interpolacji liniowej dwa punkty danych są połączone funkcją liniową. Oznacza to, że zakłada się, że zmienna zależna (populacja) zmienia się ze stałą szybkością, aby osiągnąć następny punkt danych. Jeśli populacja jest potrzebna w rok po spisie, można liniowo interpolować dwa punkty danych, aby oszacować wartość pośrednią na podstawie linii łączącej. Zazwyczaj oczywiste jest, że rzeczywista zmienna nie zmienia się liniowo między punktami danych, ale to uproszczenie jest często wystarczająco dokładne.

Czasami jednak interpolacja liniowa wprowadza zbyt duży błąd w swoich oszacowaniach. Na przykład populacja wykazuje wykładniczy wzrost w wielu scenariuszach. We wzroście wykładniczym rośnie samo tempo wzrostu - większa populacja prowadzi do większej liczby urodzeń, co zwiększa całkowite tempo wzrostu populacji. Na wykresie rozproszenia XY tego rodzaju zachowanie pokazałoby trend, który „zakrzywiał się w górę”. Do tego rodzaju badań może być odpowiednia dokładniejsza metoda interpolacji.

Interpolacja wielomianowa polega na połączeniu wielu punktów danych za pomocą funkcji wielomianowej. Funkcja liniowa jest w rzeczywistości prostą odmianą funkcji wielomianowej - mianowicie wielomianem rzędu. Wielomiany mogą mieć jednak wyższe rzędy niż jeden: rząd drugi to parabola, rząd trzeci to funkcja sześcienna i tak dalej. Zestaw punktów danych populacji może być lepiej interpolowany za pomocą funkcji wielomianowej niż funkcji liniowej, ponieważ te pierwsze można zakrzywiać w górę i w dół, aby dopasować dane.